Länge einer Geraden im Kreis, Sekante ???

23.11.2009, 20:49

Sekanter

Länge einer Geraden im Kreis, Sekante ???

Hallo,

Bislang war ich ein fleißiger Leser dieses Forums, und mit Eurer Hilfe konnte ich so manche Sachen auch lösen. Nun komme ich aber nicht weiter und bräuchte mal Eure Hilfe.

ich habe ein, auf den ersten Blick, leichtes Problem zu lösen.

Ich habe mal eine Skizze angefertigt:

Edit (mY+): Als fleissiger Leser weisst du sicher auch, dass Links zu externen Uploadseiten nicht erwünscht sind. Der Link wurde entfernt. Hänge das Bild statt dessen innerhalb des Beitrages an!

[attach]12211[/attach]

Bitte Bilder immer direkt mit "Dateianhänge" hochladen; niemals externe Links angeben.
Danke, Gualtiero

bekannt ist der Durchmesser bzw. der Radius des Kreis. der Abstand "e" charakterisiert den Abstand von der gesuchten Länge "l" in Abhängigkeit des Winkels "a"

Also ich suche eine Funktion. L(a) = ??? ... mit meinem bisherigen Bildungsstand komme ich anscheinend nicht weiter (Trigonometrische Funktion) mir würde auch ein Ansatz genügen, der bis pi oder 180° funktioniert.

Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen, und ich habe mich verständlich ausgedrückt. Sitze an diesem Problem schon mehrere Stunden.

Vielen Dank smile

23.11.2009, 21:16

Alex-Peter

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RE: Länge einer Geraden im Kreis, Sekante ???
Meinst Du vielleicht etwas ähnliches wie mein Bild ?
Wenn nicht, dann versuche es besser zu erklären was Du genau willst.

.

23.11.2009, 21:28

Sekanter

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erstmal Danke an den Moderator, habe diesen "Bild-hochladen-link" benutzt, aber wohl was falsch gemacht :| ...entschuldigung

@alex .... so in etwa meine ich das , nur möchte ich eine Abhängigkeit des Winkels "a" zu der Länge "l" finden. keine vordefinierten Winkel wie z.B. 30° 45° 60° usw. --> denn die könnte ich mir ja auch aufmalen/zeichen und ablesen smile

(aber ich denke wir meinen das gleiche, das Zentrum deiner "Strahlen/Pfeile" ist mit einem Versatz "e" in meiner Zeichnung zu lesen)

23.11.2009, 22:47

Gualtiero

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Nur mal eine Idee.

Ich gehe von Deinen Angaben aus - Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und Strecke $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ - und möchte einen Zusammenhang herstellen zwischen dem Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und der Länge $\begin{eqnarray*} l. \end{eqnarray*}$

Man könnte das Lot des Mittelpunktes auf die Gerade fällen und den Lotabstand $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nennen.

$\begin{eqnarray*} h=sin\alpha\cdot e \end{eqnarray*}$

. . . und dann das rechtwinkelige Dreieck auflösen, das durch den Mittelpunkt des Kreises, den Lotfußpunkt und den Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis gebildet wird.

Darin gilt: $\begin{eqnarray*} l^2=r^2-(sin\alpha\cdot e)^2 \end{eqnarray*}$

Das nach $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ aufgelöst ergibt die Funktion für $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

23.11.2009, 23:25

riwe

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wenn du nur ein ergebnis haben willst, könnte ich anbieten:

(edit: l ist der abstand von punkt P(e/0) zum oberen schnittpunkt mit dem kreis)

$\begin{eqnarray*} l=\frac{w-e}{\sqrt{1+m^2}} \quad{ }0\leq \alpha\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l=\frac{w+e}{\sqrt{1+m^2}} \quad{ }\frac{\pi}{2}< \alpha\leq \pi \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} m =tan\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w=\sqrt{r^2\cdot(1+m^2)-e^2m^2} \end{eqnarray*}$

oder so in etwa smile

EDIT:

bzw. wenn l die länge der sekante ist, geht´s einfacher:

$\begin{eqnarray*} l=\frac{2w}{\sqrt{1+m^2}} \end{eqnarray*}$

24.11.2009, 08:37

Sekanter

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Vielen Dank für die fleißigen Ansätze, nachdem ich in der letzten Nacht auch von diesem Problem geträumt habe, bin ich nun auf eine Lösung gekommen. @riwe: deinen Ansatz verstehe ich nicht so recht, macht aber nichts smile

Zitat:

Original von Gualtiero
Nur mal eine Idee.

Ich gehe von Deinen Angaben aus - Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und Strecke $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ - und möchte einen Zusammenhang herstellen zwischen dem Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und der Länge $\begin{eqnarray*} l. \end{eqnarray*}$

Man könnte das Lot des Mittelpunktes auf die Gerade fällen und den Lotabstand $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nennen.

$\begin{eqnarray*} h=sin\alpha\cdot e \end{eqnarray*}$

. . . und dann das rechtwinkelige Dreieck auflösen, das durch den Mittelpunkt des Kreises, den Lotfußpunkt und den Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis gebildet wird.

Darin gilt: $\begin{eqnarray*} l^2=r^2-(sin\alpha\cdot e)^2 \end{eqnarray*}$

Das nach $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ aufgelöst ergibt die Funktion für $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

....so und hier steckt meine Lösung, ich habe mir das aufgezeichnet, und vielleicht hast du es nur vergessen, oder Du wolltest mich auf den richtigen Weg bringen. Wenn ich den Teil betrachte:

$\begin{eqnarray*} l^2=r^2-(sin\alpha\cdot e)^2 \end{eqnarray*}$ habe ich nur ein Teil der Lösung, addiert mit e * cos (a) , wäre dann wohl richtig.

also in Worten: (Latex ist nicht mein Ding :|) ... deine Formel nach "l" umstellen und dann + ("e" mal "cosinus alpha")

24.11.2009, 10:15

Gualtiero

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Entschuldigung, da hatt ich wahrhaft "zu kurz" gedacht.
Wenn Du meinen Weg gehen willst, musst Du natürlich $\begin{eqnarray*} cos\alpha \cdot e \end{eqnarray*}$ noch anfügen, wie Du schon richtig sagtest.

24.11.2009, 13:13

riwe

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Zitat:

Original von Sekanter
Vielen Dank für die fleißigen Ansätze, nachdem ich in der letzten Nacht auch von diesem Problem geträumt habe, bin ich nun auf eine Lösung gekommen. @riwe: deinen Ansatz verstehe ich nicht so recht, macht aber nichts smile

wie oben schon steht: das ist kein ANSATZ, das ist die LÖSUNG

aber macht auch nix smile

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