Orthonormalbasis

23.11.2009, 21:48

Flix09

Orthonormalbasis

Guten Abend allerseits!

Ich habe folgendes Problem:

Man betrachte den IR-Vektorraum Mat(n;IR) und definiere die Abbildung $\begin{eqnarray*} < \cdot, \cdot > : Mat(n; \mathbb R)\times Mat(n;\mathbb R) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} < A, B > : = Spur(A^{T}B) \end{eqnarray*}$

Nun sollte ich eine Orthonormal-Basis von (Mat(n;IR), <*,*>) angeben.

Es ist also eine Basis B = {b_1, ..., b_n} von (Mat(n;IR), <*,*>) anzugeben, die folgendes erfüllt:

||b_i||= 1 für alle i in {1, ..., n}
und
<b_i, b_j> = 0 für alle i, j in {1, ..., n} mit i ungleich j.

Müsste ich, um eine solche Orthogonalbasis zu finden, nicht eine Basis wählen, auf die ich dann zB das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden kann?
also ist zB: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ keine solche gesuchte Orthogonalbasis?

Mfg

23.11.2009, 23:43

Reksilat

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RE: Orthonormalbasis
Hi Flix,

Du hast eine Matrix angegeben. Wie soll denn eine Matrix eine Basis sein? Einen Basis ist immer eine Menge von Vektoren (hier: Matrizen).

Zuerst solltest Du überhaupt mal irgendeine Basis von $\begin{eqnarray*} {\rm Mat}(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ suchen. Vorher lohnt es sich eigentlich gar nicht sich mit anderen Sachen zu beschäftigen.

Gruß,
Reksilat.

24.11.2009, 00:09

Flix09

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RE: Orthonormalbasis
Ach - ich habe gerade nachgeschaut - diese Spur ist ja ein wenig speziell, weil das Matrixprodukt ja aus zwei Summenformeln besteht. Ist nämlich K = IR, so handelt es sich um einen Spezialfall. Wenn nämlich A eine symmetrische und B eine schiefsymmetrische Matrix sind, so gilt: <A,B> = 0
Womit die Aufgabe dann eigentlich gezeigt wäre :-)

Stimmt so, oder?

24.11.2009, 00:19

Reksilat

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RE: Orthonormalbasis
Bitte was? Wieso sollten A symmetrisch und B schiefsymmetrisch sein? Was hat das mit der Aufgabe zu tun?

24.11.2009, 00:58

Flix09

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RE: Orthonormalbasis
Naja, Wikipedia hätte mich auf die Idee gebracht
( de.
wikipedia
.org
/wiki
/Matrix_(Mathematik) )

Aber zurück zur gesuchten Basis. Eine Beispielsbasis könnte sein: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.11.2009, 10:52

Reksilat

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RE: Orthonormalbasis
Du musst schon lesen, was ich Dir hier sage:

Zitat:

Du hast eine Matrix angegeben. Wie soll denn eine Matrix eine Basis sein? Einen Basis ist immer eine Menge von Vektoren (hier: Matrizen).

Gruß,
Reksilat.

24.11.2009, 15:35

Flix09

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RE: Orthonormalbasis
Ach, bitte entschuldige!

Ich meinte natürlich: Basis = { $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ), ( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} ) , ( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ }

24.11.2009, 15:39

Reksilat

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RE: Orthonormalbasis
Selbst für Mat(2,R) ist das keine Basis, da dieser VR vierdimensional ist. Orthogonal ist das ganze auch nicht, die ersten beiden Matrizen sind nicht senkrecht zueinander.

Ich kann nur noch ein letztes Mal empfehlen, zuerst eine ganz normale Basis des VR Mat(n,R) zu suchen, bevor Du Dich mit etwas anderem beschäftigst.

Gruß,
Reksilat.

24.11.2009, 17:43

Flix09

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RE: Orthonormalbasis
Die sind wirklich falsch..
ich habe in der Zwischenzeit nämlich mal das Gram-Schmidt-Verfahren angewendet, und zwar auf folgende möglichen Basen: { $\begin{eqnarray*} B_1 = (\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ), B_2 = ( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ) , B_3 = ( \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Als mögliche Orthonormalbasis habe ich bekommen:

$\begin{eqnarray*} E_1 = (\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ), E_2 = ( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} ) , E_3 = \frac{1}{\sqrt{2} } ( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

24.11.2009, 17:56

Reksilat

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Die Matrizen sind jetzt zwar orthogonal zueinander, aber noch immer keine Basis. Wenn ich oben vierdimensional schreibe, dann mache ich das nicht zum Spaß. böse

24.11.2009, 19:52

Flix09

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Tut mir Leid - das habe ich nun wirklich überlesen!

Ich ändere meine Basis also zu:

$\begin{eqnarray*} B_1 = (\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ), B_2 = ( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ) , B_3 = ( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

24.11.2009, 19:58

Reksilat

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Das ist auch Quatsch! Der Vektorraum der 2x2-Matrizen ist vierdimensional. Das heißt, dass eine Basis vier Elemente haben muss.

Allgemein sind hier nxn-Matrizen zu betrachten. Eine Basis hat dann n² viele Elemente.

Gruß,
Reksilat.

24.11.2009, 20:05

Flix09

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Achsooo..du meinst:

$\begin{eqnarray*} B_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , B_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , B_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , B_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

24.11.2009, 22:13

Reksilat

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Nein, meine ich auch nicht. Wenn Du Dich immer weiter in Vermutungen ergehst, anstatt einfach zuzugeben, dass Du etwas nicht weißt, können wir uns den Thread auch sparen. Durch wildes Rumgerate wirst Du jedenfalls nicht auf die Lösung kommen.
Wie sollen denn bitte diese Spaltenvektoren die Basis für einen Vektorraum von Matrizen bilden?

Um hier für heute noch was konstruktives beizusteuern:
Eine Basis für Mat(2,R) ist zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Wie bekommt man nun eine Orthogonalbasis hin?
Wie funktioniert das allgemein für Mat(n,R)?

Gute Nacht.
Reksilat.

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