Kombinatorik für Profis

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lilo89 Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik für Profis
hallo, ich stehe vor folgender Frage: Eine Kiste enthält Tickets, von denen die Nummer i tragen (0 ). Es werden insgesamt m Tickets aus Kiste gezogen (mit Zurücklegen).
Betrachten Sie die Zufallsvariable S= wobei xi die Nummer des i-ten Tickets ist und zeigen Sie, dass E(S)=
Hinweis: Verwenden Sie die kombinatorische Identität =

Soderla das war die Angabe. Ich hab mir bis jetzt folgendes gedacht/geschafft?:

ich hab mal alle Möglichkeiten ein Ticket zu ziehen mit allen möglichkeiten ein Ticket mit Nr zu ziehen (mit Zurücklegen) multipliziert. Also:
Das wäre laut zu zeigender Formel mein (oder?smile ) aber wie komme ich dann zu meinem Nenner 2 (aus )? Ich dachte mir dass es vielleicht mit der Erwartungswertformel von der Hypergeometrischeverteilung zusammenhängt mit E(x)= () aber ich konnte mir bis jetzt keinen Reim drauf machen...Bin ich am Holzweg, oder stimmt es Teilweise???Ich bitte um Hilfe!!!Und wenn möglich bitte mit Erklärung warum ihr was wie rechnet. Vielen vielen Dank im Voraus
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik für Profis
Edit 2:

War doch richtig Hammer ... irgendwie bin ich in letzterzeit echt nicht auf der Höhe verwirrt


Die sind i.i.d. Zufallsvariablen und damit gilt:



also bleibt zu zeigen, dass
lilo89 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die rasche Hilfe,wobei ich da noch nicht ganz durchblicke

nach deinem Hinweis mit dem E(X) hab ich nochmal genauer recherchiert, und habe herausgefunden, dass der E(X) der Hypergeom.V. von der Binomial V. kommt E(X)=n*p mein n wäre in diesem Fall m (von m mal ziehen) und p Möglichkeiten Tickets mit Nr / Möglichkeiten Alle Tickets
Dann komm ich auf:
Aber dann steht mir noch immer Nenner und nicht 2.

Irgendwie hab ich mich selber schon so verwirrt, dass ich nicht mehr durchblicke Ich bin mir sicher dass sich in meinem Rechengang auch schon Fehler .eingeschlichen haben...könnte mir jmd sagen, wo ich hier falsch denke?Dann komme ich vielleich auch selber dahinter warum mein N 2 ist...
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Du hast mittlerweile verstanden, dass einfach eine Summe aus m unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen ist? Das heißt, dass alle den selben Erwartungswert haben und somit

Du musst also nur mehr den Erwartungswert von berechnen. Die Verteilung (die Punktwahrscheinlichkeiten) von kennst du ja, die sind gegeben durch

Jetzt einfach in die Definition einsetzen und ausrechnen, also



Im Grunde hab ich schon alles vorgerechnet, denn allerletzten Schritt kannst aber selber machen (Indexverschiebung und Benutzung des Hinweises aus deinem ersten Post).
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Im vorletzten Schritt habe ich das ! für die Fakultät bei (i-1) verschlampt
lilo89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, das mit den u.i.v. hab ich erst jetzt richtig begriffen, was das überhaupt für mich heißt. Auch die Schritte bis zu E(x1) hab ich nachvollziehen können. Jetzt hab ich fragen zur Formelumwandlung, wenn dir das nicht zu mühsam ist zu erklären, aber ich möchte dieses Bsp wirklich gerne verstehen!Wie kommst du zu den letzten 2 Umformungsschritten? Ich mein die Stelle wo das n ?nach vor gezogen wird? warum machst du das genau, und warum steht dann statt ?

Vielen Dank für die Antworten!
LG
 
 
sdfs Auf diesen Beitrag antworten »



Binomialkoeffizienten-darstellung auswählen


Indexverschiebung


Summe des Binomialkoeffizient


Substitution


smile
RoyalTomek Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also die Schritte mal ein wenig erklärt:

1) der erste sollte klar sein, da wird nur der Binomialkoeffizient ausgeschrieben.

2) Im zweiten kürzt sich das heraus. ist ja (für eine natürliche Zahl i) . Du siehst, da kürzt sich das im Produkt weg und was übrigbleibt, ist . Ähnlich mit dem , das kürzen wir nicht, sondern heben es einfach heraus, da es ja nicht vom Summationsindex abhängt. In der Summe bleibt dann noch der Rest vom Produkt - also - stehen.

Wieso machen wir das überhaupt, theoretisch könnte man ja gleich herausheben? Ganz einfach, du kennst schon im Grunde die Lösung und weißt, auf was du hinausmöchtest. Damit , muss sein. Das willst du vor der Summe stehen haben und einfach zeigen, dass das, was in der Summe bleibt, gleich 1 ist. Würdest du das Ergebnis nicht schon vorher kennen, müsstest halt mehr rumprobieren, aber so ist sofort klar, wie es gehen muss.

3) Im letzten Schritt fasse ich nur mehr zum Binomialkoeffizienten zusammen.

Wie gesasgt, der Rest ist wirklich sehr einfach. Hoffe, es ist jetzt halbwegs klar.
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Summe muss natürlich und nicht 1 sein, aber das ist wohl eh klar Big Laugh
lilo89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr seit toll, dass muss mal gesagt seinsmile jetzt is alles klar!vielen Dank Leute für die schnellen Antworten.
LG
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