Erzeugendensysteme und Mengen in V

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Raggy Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensysteme und Mengen in V
Hallo!
Erstmal die Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen Z Erzeugendensysteme des Vektorraums V, und die Mengen X linear unabhängig sind. Finden Sie Mengen Y c Z mit |Y| = |X| und L (X U (Z\Y)) = V.

a) V = C^2, Z = {(0,i),(i,-1)}, X = {(1,i)}
b)...
c)..
wird noch schwieriger, aber ich würde wenigstens gerne wissen, wie man a) löst, damit ich schonmal mit dem richtigen Ansatz an b) und c) rangehen kann und nicht noch stundenlang im Dunkeln tappe...das wär schonmal super smile bin grad noch relativ ansatzfrei... wie muss so ne Basis bzw. Erzeugendensystem im C^2 eigentlich aussehen?

Danke schonmal, falls jemand Lust hat sich das anzutun...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Mengen in V
Also du mußt zeigen, daß alle Elemente des C² sich aus den Elementen der menge Z erzeugen lassen. Da gilt es letztlich, ein lineares Gleichungsystem zu lösen. Was mich irritiert, ist die Menge X, denn diese besteht nicht aus Elementen von C².
Raggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Mengen in V
oh sorry hab ne klammer vergessen smile tut mir leid, es heißt
X= {(1,i)}
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Mengen in V
OK. Daß die Menge X linear unabhängig ist, ist sofort klar, da ein Vektor, der nicht Nullvektor ist, immer linear unabhängig ist.
Raggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Mengen in V
und wie sieht das Gleichungssystem dann aus?

0 + i = c1
und
i - 1 = c2

so dass c = (i,i-1)?
hatte eigentlich noch nie mit komplexen Zahlen zu tun..nichtmal in der Vorlesung.

wenn alle Vektoren außer (0,0) lin. unabh. sind, dann sind es die in Z doch auch oder? dass sie sich gegenseitig nicht darstellen lassen kann man ja sehen, denk ich.
wär dann Z eine Basis von C²?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Mengen in V
Zitat:
Original von Raggy
und wie sieht das Gleichungssystem dann aus?

Wie sieht denn eine Linearkombination von Vektoren von Z aus?

Zitat:
Original von Raggy
hatte eigentlich noch nie mit komplexen Zahlen zu tun..nichtmal in der Vorlesung.

Das ist äußerst ungünstig. Wieso bekommt ihr dann Aufgaben mit komplexen zahlen?

Zitat:
Original von Raggy
wenn alle Vektoren außer (0,0) lin. unabh. sind, dann sind es die in Z doch auch oder?

Falsch formuliert. Ein Vektor für sich allein ist immer linear unabhängig. Betrachtet man jedoch eine Menge (oder Familie) von Vektoren, dann können diese lienar abhängig sein.

Zitat:
Original von Raggy
wär dann Z eine Basis von C²?

Ja, wenn die Vektoren von Z den C² erzeugen und untereinander linear unabhängig sind.
 
 
Raggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Mengen in V
ich weiß auch nicht, warum wir dann so eine Aufgabe bekommen, bisher haben wir nur in Analysis erklärt bekommen, wie so eine komplexe Zahl aussieht mit anschließend "das kommt aber in der Lin. Algebra nochmal ausführlicher dran"..war leider noch nicht so...
aber vielleicht ist sie ja auch gar nicht so schwer. ich schaffs nur grad nicht mich da irgenwie reinzufuchsen. naja ich bleib am Ball...
Miep Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

Teil dieser Aufgabe ist auch "Finden sie Mengen mit "

Wie soll man denn den Betrag einer Menge Bestimmen? Die Kardinalität war bei uns immer #, und unter dem Betrag der Menge kann ich mir nichts vorstellen...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kennzeichnung der Kardinalität durch Betragsstriche ist allgemein üblich. Du wirst Dich daran gewöhnen müssen, dass nicht alle Mathematiker die gleichen Schreibweisen verwenden. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
Miepmiep Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, der Prof der # eingeführt hat und von dem der Zettel stammt, achtet eigentlich sehr darauf, dass in seiner Vorlesung alle Schreibweisen einheitlich sind, daher hat mich das etwas verwirrt. Vielen Dank für den Hinweis Augenzwinkern
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