Transformationsmatrix und Basiswechsel

06.10.2006, 19:28

pflaume

Transformationsmatrix und Basiswechsel

Schönen guten Abend,

Da ich z.Zt. an einer Aufgabe hänge, wollte ich fragen, ob mir jemand weiterhelfen könnte. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und

B eine Basis $\begin{eqnarray*} B=\{v_1,v_2,v_3\}, B \in V \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A=\{e_1,e_2,e_3\} \end{eqnarray*}$ ist die Standardbasis.

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$ !
a)
Nun hat mir ein Kollege gezeigt, wie ich diese berechne. Dabei ergibt sich $\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ durch das Zusammenfassen der Vektoren in eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} M_B^A (Id)= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

b)
Hier wird nun die Inverse von $\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ gebildet, indem ich die selben Operationen mit der Standardbasis durchführe und die versuche $\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ in eine Einheitsmatrix zu verwandeln.

Als Ergebnis erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} M_B^A (Id)^-1 \begin{pmatrix} -4 & 8 & 5 \\ -3 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} M_B^A (Id)^-1 = M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$

Zwei Fragen hab ich nun:
1) Ist das richtig ?
2) Habe ich richtig verstanden, das
$\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ heißt: Die "Matrix A zur Basis von B" und
das $\begin{eqnarray*} M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$ heißt: Die "Matrix B zur Basis von A" ?

Wäre für Antworten wirklich dankbar.

07.10.2006, 17:59

pflaume

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Weiß jemand Rat ? MÖchte nur wissen, ob ich es mir richtig in Kopf geschlagen hab Forum Kloppe

.

Danke schonmal Augenzwinkern

07.10.2006, 20:29

Shurakai

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RE: Transformationsmatrix und Basiswechsel

Zitat:

Original von pflaume
B eine Basis $\begin{eqnarray*} B=\{v_1,v_2,v_3\}, B \in V \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Was meinst du mit V Element R?

Zum Rest:

$\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass dort die Bilder des i-ten Basisvektors von A durch Linearkombination der Vektoren aus B mit den Skalaren aus der i-ten Spalte von M dargestellt wird. Also eigentlich wäre das was du dann dort hast, $\begin{eqnarray*} M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$ , bin mir gerade aber nicht ganz sicher, ob es nur Definitionssache ist oder eine allgemeine Schreibweise. Wir hattens damals wie oben beschrieben.

Beim anderen analog. Du kannst es ja leicht selber nachprüfen, indem du schaust, ob die Bilder durch die Lin.komb. dargestellt werden oder nicht smile

08.10.2006, 05:58

pflaume

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RE: Transformationsmatrix und Basiswechsel

Zitat:

Original von Shurakai

Zitat:

Original von pflaume
B eine Basis $\begin{eqnarray*} B=\{v_1,v_2,v_3\}, B \in V \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Was meinst du mit V Element R?

In der Aufgabenstellung steht: "B ist eine Basis von V = R^3". Ich dachte man könnte es verkürzend so aufschreiben. Wenns allerdings mathmatisch falsch ist, dann wäre ich dankbar für die richtige Schreibweise. Big Laugh

[edit]Huch, mir ist noch aufgefallen: Ich hab R geschrieben. Ich meine natürlich $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Shurakai
$\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass dort die Bilder des i-ten Basisvektors von A durch Linearkombination der Vektoren aus B mit den Skalaren aus der i-ten Spalte von M dargestellt wird.

Also wird A durch Vektoren aus B (obige Vektoren v_1-v_3) dargestellt ? Ich verstehe die Formulierung nicht so ganz. Wird nun A mit Hilfe der Vektoren von B erzeugt und heisst das $\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ ?

Oder

wird B durch die Vektoren aus A (Einheitsvektoren) erzeugt und dies heißt $\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Shurakai
Also eigentlich wäre das was du dann dort hast, $\begin{eqnarray*} M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$ , bin mir gerade aber nicht ganz sicher, ob es nur Definitionssache ist oder eine allgemeine Schreibweise. Wir hattens damals wie oben beschrieben.

Ob's die vorherrschende Schreibweise ist, würde mir schon als Antwort reichen smile

[/quote]

16.10.2006, 22:33

pflaume

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Tach,

da ich mich z.Zt. nochmal mit der Aufgabe beschäftige, hab ich herausgefunden, daß obige schreibweise falsch ist.

Hier nun die richtige Lösung für die Analen dieses Forums smile

:

Sei $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und

B eine Basis $\begin{eqnarray*} B=\{v_1,v_2,v_3\}, V = \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A=\{e_1,e_2,e_3\} \end{eqnarray*}$ ist die Standardbasis.

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$ !
a)
Nun hat mir ein Kollege gezeigt, wie ich diese berechne. Dabei ergibt sich $\begin{eqnarray*} M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$ durch das Zusammenfassen der Vektoren in eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} M_A^B (Id)= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

b)
Hier wird nun die Inverse von $\begin{eqnarray*} M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$ gebildet, indem ich die selben Operationen mit der Standardbasis durchführe und die versuche $\begin{eqnarray*} M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$ in eine Einheitsmatrix zu verwandeln.

Als Ergebnis erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} M_A^B (Id)^-1 = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 5 \\ -3 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} M_A^B (Id)^-1 = M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} M_A^B (Id) \end{eqnarray*}$ : Die "Matrix A zur Basis von B"
$\begin{eqnarray*} M_B^A (Id) \end{eqnarray*}$ : "Die "Matrix B zur Basis von A"

Bye

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