Basis bestimmen im Vektorraum (Polynome) |
| 24.11.2009, 19:06 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Basis bestimmen im Vektorraum (Polynome) V=span(-t²+2t-1, t²+t+a, t²+7t+1) wir sollen jeweils die Basis des Vektorraumes V und die länge der Basis bestimmen... so das sind doch Polynome....und davor kamen drei aufgaben die ich lösen konnte, sie beinhalteten jedoch nur vektoren. gehe ich hier genauso vor, das ich zuerst sie als linearkombination mit µ1 µ2 und µ3 aufstelle!? =0 und nun die drei Gleichungen nach µ versuche umzustellen....!? was ist wenn alle µ null werden...dann kann man den span nicht weiter verkürzen dann ist die basis bereits gegeben oder?! merci Polynome können auch vektoren sein!? überlege grade wie man sie umstellen kann...?! |
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| 24.11.2009, 19:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Basis bestimmen im Vektorraum (Polynome) Erstmal eine sehr einfache Basis für Polynom VR überlegen -> Monombasis Welchen Höchstgraf haben deine Polynome hier? In welchem keinsten PolynomVR liegen sie also? Welche Dimension hat dieser? Wie kann man deine Polynom als Koordinatenvektoren der Basis von oben schreiben? Schon sieht alles wieder vertraut aus und man muss nun prüfen, ob diese 3 Vektoren lu sind oder la. Dann das System auf ein l.u. System reduzieren um eine Basis zu haben. |
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| 24.11.2009, 19:24 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Basis bestimmen im Vektorraum (Polynome) okay....erstmal was ist eine Monombasis!? noch nie davon gehört... Der höchste grad wäre doch 2 aufgrund des t² oder wie ist das gemeint...!? wie man es schreiben kann!? naja wir ahben ja drei terme da drin aber es wäre wohl zu einfach zu behaupten das man die einfach untereinander schreiben kann... könnte mir höchstens noch vorstellen das man das t vor die klammer setzt...!? aber das klingt auch nich plausibel 
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| 24.11.2009, 19:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Basis bestimmen im Vektorraum (Polynome) du hast google und die Boardsuche. Also, was ist die MonomBasis? 
Grad ist richtig. t² brauchen wir dann auch noch. |
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| 24.11.2009, 19:34 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist quasi eine Einheitsbasis der Polynome!? also: B {1,t²,t³...} ?!?! |
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| 24.11.2009, 19:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nicht ganz. Schau nochmal genau hin! Und wir brauchen hier eine endliche. Welche genau? |
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| 24.11.2009, 19:49 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nur die bis zum höchsten grad der Polynome?! quasi nur bis t²?! |
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| 24.11.2009, 19:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schon, aber ich sagte doch, dass bei dir noch was fehlt. Es muss natürlich {1,t,t²} sein. Wie geht es nun weiter? Also wie lauten die Koordinaten deiner 3 Polynome bzgl. dieser Basis? |
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| 24.11.2009, 19:58 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ähh wie wäre es mit -1 2 -1 1 1 1 und 1 7 1 ?? |
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| 24.11.2009, 20:04 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wohl eher oder hast du dich mit dem a verschrieben? |
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| 24.11.2009, 20:05 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja soll eigentlich ne 1 sein... sorry...aber warum das hoch T?! |
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| 24.11.2009, 20:06 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil ich es nicht untereinander schreiben wollte. Platzgründe. Sind diese Vektoren nun la oder lu? jeweils 2 sind offensichtlich lu. |
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| 24.11.2009, 20:12 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also wir können den dritten vektor (1,7,1) als linearkombination der anderen beiden vektoren darstellen mit 2*(-1,2,-1) + 3*(1,1,1)... also kann er gekürzt werden und die anderen beiden Vektoren bilden die Basis die nun die Länge 2 besitzt... 
kann man das immer so machen!? |
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| 24.11.2009, 20:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit ist das gelöst. Was meinst du mit immer? Es werden nicht immer nur 3 Vektoren sein wo man das so leicht sieht. Da muss man dann mit einem Rechenschema dran, um die l.u. zu finden. |
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| 24.11.2009, 20:19 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein das man mit dieser Monombasis rechnet.... da wäre ich echt nie drauf gekommen... |
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| 24.11.2009, 20:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kennt man die Basis, kann man auch in Koordinaten rechnen. Ich kannte halt hier eine passende einfache Basis. Alles nur Übung.
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| 24.11.2009, 22:00 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay danke dir...nur noch eine kurze frage... das gleich gibts nochmal für nen Restklassenring 5Z... wenn ich am Anfang in der Matrix rechne und zum beispiel eine Zeile verdoppeln muss...und ich soll die 4 verdoppeln....schreib ich dann als ergebnis die 8 oder die 3. oder muss ich erst beim Ergebnis den Restklassenring beachten und dann umformen....denke es klappt auf beide Weisen aber was wäre mathematisch korrekt?! und wenn dann 3*lamda1=0 entscheht kann ja lamda sowohl 0 als auch 5 oder 10 oder jedes vielfaches von 5 sein....welche lösung nehme ich denn da?! 
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| 24.11.2009, 22:02 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du musst schon in Z5 rechnen. Dort gibt es nur 0,1,2,3,4 als Restklassen.
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| 24.11.2009, 22:22 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay ich hab dann raus zum beispiel 4*lamda3=0 ich kann ja jetz lamda nich einfach festlegen oder!? hätte jetz 5x für lamda weil ja jede zahl die ein fünfaches von x ist auf die Restklasse null hinweisen würde... |
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| 24.11.2009, 22:26 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du darfst für lambda auch nur Werte aus Z5 einsetzen. 4*0 == 0 mod 5 4*1 == 4 mod 5 4*2 = 8 == 3 mod 5 4*3=12 == 2 mod 5 4*4=16 == 1 mod 5 Somit ergbit sich lambda3=0 mod 5 |
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| 24.11.2009, 22:28 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahhh okay.... dann wird für jedes lamda wieder null rauskommt und die basis ist somit komplett und man kann nix rausstreichen wenn es nur die triviale lösung gibt.... |
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| 24.11.2009, 22:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Keine Ahnung, da du nie die ganze Aufgabe gepostet hast.
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| 24.11.2009, 22:41 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay geht relativ schnell: V=span((1,2,3) 
2,3,4)
3,4,4)) und das ganze im Restklassenring der Ganzen Zahlen Z modulo 5... ich komme wie gesagt auf 4*lamda3=0 lamda2 + 2*lamda3=0 lamda1 + 2*lamda2 + 3*lamda3 = 0 und somit ist jedes lamda null und die Basis bleibt mit der Länge 3 |
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| 24.11.2009, 22:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und was ist die Frage. 
Wieder eine Basis bestimmen, oder? Wenn du bei der LK des Nullvektors nur auf die triviale Lösung kommst, dann sind die 3 Vektoren eine Basis. |
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| 24.11.2009, 22:50 | kruegs_so | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau...basis bestimmen und länge der basis bestimmen... okay also ist eine Basis immer nur durch die triviale Lösung gekennzeichnet... 
so langsam wirds
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| 24.11.2009, 22:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Basis ist durch 2 Dinge gekennzeichnet: * Vektoren erzeugen den geforderten Raum * Vektoren sind l.u. Wenn wir die Dimension des Raums kennen und soviele lu Vektoren haben, dann sind diese auch eine Basis. |
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