Graph entlang laufen und Strecke messen

06.10.2006, 20:32

zt

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Graph entlang laufen und Strecke messen

Ich glaub' die Frage ist doof, aber okay.

Gegeben sei eine Funktion, etwa:

Kann man die "Länge" etwa von 1 bis 5 berechnen?
(Also die Strecke, die man den Graphen von 1 bis 5 entlang radeln müsste)

Ich hab' in meinem Was-Ist-Was-Buch auf Klo

Klo

vorhin etwas gelesen, dass sowas generell nicht möglich ist, weil die Angabe (bezog sich aber auf einen Küstenabschnitt) u.a. vom Maßstab (die Präzision) abhängig ist. Wie sieht's aber bei einem Graphen einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus?

Haut mich jetzt nicht gegen die Wand. Kein Plan was in der Mathematik so alles möglich ist. Schläfer

Schläfer

06.10.2006, 20:34

Frooke

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Die Länge der Kurve der Funktion f zwischen a und b berechnet sich durch:

$\begin{eqnarray*} l=\int\limits_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\dx \end{eqnarray*}$

Für eine Herleitung nachfragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

EDIT: Die Frage ist keineswegs doof smile

smile

06.10.2006, 20:36

penizillin

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http://www.mathematik.de/mde/fragenantwo...rvenlaenge.html erklärt, woher das kommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.10.2006, 20:36

pseudo-nym

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Kannst du das mal herleiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.10.2006, 20:37

zt

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Zitat:

Für eine Herleitung nachfragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

*frag*

Wink

Mit Zunge

Freude

Edit: Danke für den Link. Stelle morgen dazu meine Fragen. Bin jetzt zu müde. Schläfer

Schläfer

Aber kuhl! Mit Zunge

Mit Zunge

Edit: Das wird wohl ein langer Beitrag von dir Frooke. smile

smile

06.10.2006, 20:57

therisen

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Hier noch ein weiterer Link: http://www.mathe-cd.de/4_Funktionen/48_I...aenge%20SOD.pdf

Für einen exakten Beweis könnt ihr ja mal ein Buch über Analysis 1 aufschlagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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06.10.2006, 21:01

Frooke

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Betrachten wir ein kurzes Stück eines Bogens des Graphs der Funktion f, etwa von a nach b (a < b), so ist die Bogenlänge dort näherungsweise mit Pytagoras zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{b-a}_{=\text{Breite}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{|f(b)-f(a)|}_{=\text{Höhe}} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} l=\sqrt{(f(b)-f(a))^2+(b-a)^2} \end{eqnarray*}$

Betrachten wir nun ein beliebig kleines Streckenstück, also von f(x) bis nach f(x+h), wenn h>0: EDIT: Benutzen wir dafür folgende Bezeichnungen für die Länge (danke an Lazarus!):

$\begin{eqnarray*} l&=& \mbox{ Bogenlänge von a nach b } \\ l_{\nu}&=& \mbox{ Bogenlänge von } x_{\nu} \mbox{ nach }x_{\nu+1} \end{eqnarray*}$

Die Differenz bezeichnen wir dennoch als h:

$\begin{eqnarray*} l_{\nu}=\sqrt{(f(x+h)-f(x))^2+h^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l_{\nu}^2=(f(x+h)-f(x))^2+h^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{l_{\nu}^2}{h^2}=\frac{(f(x+h)-f(x))^2}{h^2}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l_{\nu}^2=\left(\frac{(f(x+h)-f(x))^2}{h^2}+1\right)h^2 \end{eqnarray*}$

Strebe nun h gegen null:

$\begin{eqnarray*} l_{\nu}=\sqrt{\lim_{h\to0}\left(\frac{(f(x+h)-f(x))^2}{h^2}+1\right)}\underbrace{\lim_{h\to0}\sqrt{h^2}}_{=\dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l_{\nu}=\sqrt{\lim_{h\to0}\frac{(f(x+h)-f(x))^2}{h^2}+\lim_{h\to0}1}~\dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l_{\nu}=\sqrt{\left(f'(x)\right)^2+1}~\dx \end{eqnarray*}$

Das ist ein unendlich kurzes Streckenstück und es gilt (EDIT: Nach Lazarus, erneut vielen Dank!):

$\begin{eqnarray*} \sum_{0\leqslant \nu \leqslant n} ~l_{\nu}=l \end{eqnarray*}$
Und damit
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{0\leqslant \nu \leqslant n} ~l_{\nu}=\int~l_{\nu}=l \end{eqnarray*}$
Für die Länge zwischen a und b gilt also
$\begin{eqnarray*} l=\int\limits_a^b\sqrt{\left(f'(x)\right)^2+1}~\dx \end{eqnarray*}$

Das ist eine eher anschauliche Erklärung und wohl eine notatorische Katastrophe, aber ich hoffe, dass Du verstehst, wie man drauf kommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

06.10.2006, 21:59

penizillin

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also ich finde es super anschaulich, vielen dank dafür!

06.10.2006, 22:42

Frooke

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Edit: Das wird wohl ein langer Beitrag von dir Frooke. smile

smile

Augenzwinkern

Nein, ich stell mich bloss beim «Latexisieren» manchmal fürchterlich doof an... Hammer

Hammer

07.10.2006, 10:31

Lazarus

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@frooke:

Ich finde deine Erklärung sehr schön, allerdings möchte ich dich darauf hinweisen, dass es evtl. ein bisschen leichter wäre, wenn du die Doppelbelegung von $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ vermeiden würdest.
Denn bei dir bezeichnet $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ sowohl Die Strecke zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und das infinitisimale Stück zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Ich empfehle dir daher folgendes zu wählen:

$\begin{eqnarray*} l&=& \mbox{ Bogenlänge von a nach b } \\ l_{\nu}&=& \mbox{ Bogenlänge von } x_{\nu} \mbox{ nach }x_{\nu+1} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich sofort der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \sum_{0\leqslant \nu \leqslant n} ~l_{\nu}=l \end{eqnarray*}$ und somit im Anschluss das Integral durch den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{0\leqslant \nu \leqslant n} ~l_{\nu}=\int~l_{\nu}=l \end{eqnarray*}$
Sieht hier etwas unrund aus weil des $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ fehlt, aber das liegt an deiner Definition die $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ schon in $\begin{eqnarray*} l_{\nu} \end{eqnarray*}$ beinhaltet.

servus

07.10.2006, 11:20

Frooke

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Ja hast Du recht, das ist in der Tat sehr ungünstig, danke vielmals für den Tipp! Freude

Freude

Ich werde das editieren!

EDIT: Meintest Du hier:

$\begin{eqnarray*} l&=& \mbox{ Bogenlänge von a nach b } \\ l_{\nu}&=& \mbox{ Bogenlänge von } x_{\nu} \mbox{ nach }x_{\nu+1} \end{eqnarray*}$

nicht eher

$\begin{eqnarray*} l&=& \mbox{ Bogenlänge von a nach b } \\ l_{\nu}&=& \mbox{ Bogenlänge von } x_{\nu} \mbox{ nach }x_{\nu+h} \end{eqnarray*}$

(also 1 und h)?

07.10.2006, 13:10

Lazarus

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Nein.

Ich muss ehrlich zu geben, ich bevorzuge die $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ -Methode als Definition der Ableitung.

also $\begin{eqnarray*} f'(x):=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Aus folgendem Grund:
Wenn man dann die Integralrechnung angeht kann man mit ähnlicher Definition die Unterteilungswerte für die Ober- Untersumen mit $\begin{eqnarray*} x_0, x_1,..., x_n \end{eqnarray*}$ bezeichnen, was bei einer solchen Fragestellung wie z.b. der Bogenlänge, wo man beides benutzen muss hilfreich ist.

Also würde ich für die Länge $\begin{eqnarray*} l_{0} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x+h \end{eqnarray*}$ lieber $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ schreiben.
Grund ist, dass sonst $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ bei dir $\begin{eqnarray*} x+h \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x+2h \end{eqnarray*}$ wäre, bei mir allerdings $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ,
oder allgemeiner: $\begin{eqnarray*} l_\nu \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x+\nu\cdot h \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x+\left(\nu+1\right)\cdot h \end{eqnarray*}$ geht und bei mir (schreibtechnisch angenehmer): $\begin{eqnarray*} l_\nu \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_\nu \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x_{\nu+1} \end{eqnarray*}$

Die Geschmäker mögen sich da unterscheiden, und ich habs halt so getippt wie ichs gewohnt bin.

Für dich müsste das heissen:
$\begin{eqnarray*} l&=& \mbox{ Bogenlänge von a nach b } \\ l_{\nu}&=& \mbox{ Bogenlänge von } x+\nu\cdot h \mbox{ nach }x+\left(\nu+1\right)\cdot h \end{eqnarray*}$

sorry, wenn ich gleich mitgedacht hätte, hätte ichs natürliczh gleich so geschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hammer

07.10.2006, 16:58

Frooke

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Ja klar, ich ändere es zurück, aber ich lasse oben die Notation nun, weil es sonst ein Wirrwarr gibt. Aber danke für Deine Inputs!

EDIT: => Und die Idee sollte ja klar verständlich sein.

07.10.2006, 17:49

zt

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Super, vielen Dank. Freude

Freude

Den Ansatz bzw. die Idee verstehe ich, aber mit der Mathematik (dem Limes), da hapert's bei mir. Ich werd' das heut' Abend nochmal anpacken und dann evtl. Fragen stellen.

Vielen Dank Frooke & Co. Tanzen

Tanzen

08.10.2006, 20:43

penizillin

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ich habe aber noch eine frage zu der vorletzen gleichung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{0\leqslant \nu \leqslant n} ~l_{\nu}=\int~l_{\nu} \end{eqnarray*}$

woher weiß man, dass der limes über die anzahl der summanden gleich dem integral ist? oder habe ich irgendeinen wichtigen satz verpasst? Augenzwinkern

Augenzwinkern

und gibt es einen rechnereischen schritt, der die grenzen des integrals festlegt? also, rein intuitiv finde ich es absolut nachvollziehbar, doch ist es formal in ordnung? oder müsste man die grenzen anhand des ersten und letzten summanden festlegen?

vielen dank für die erklärung schon mal!

08.10.2006, 22:05

Frooke

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Das mit den Grenzen ist eigentlich eine rein geometrische Sache:

$\begin{eqnarray*} \int f(x)\dx \end{eqnarray*}$ (ohne Integrationskonstante) gibt Dir die Fläche unter Graphen von 0 bis x an. Um eben diese Konstante auszuschalten schreibt man.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^x f(t)\dd t \end{eqnarray*}$ (Prüfen mit dem Hauptsatz...)

Die Fläche zwischen a und b ist also $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(t)\dd t \end{eqnarray*}$

Wenn man nun einen Integranden findet, dessen geometrische Bedeutung eine Länge darstellt, so läuft das analog...

Und mit dem ordentlichen Summenzeichen läuft das nicht, weil man ja sowieso über unendlich viele Glieder summiert (darum wurde auch eine andere Schreibweise eingeführt).

Und zur Summe: Das Integral ist ja gerade als Aufsummierung unendlich vieler unendlich feiner Teilstücke definiert. Egal wie der konkrete geometrische Hintergrund aussieht. Was Lazarus schreibt ist einfach die Summierung aller unendlichfeinen l_v Stücke... (ohne Grenzen)...

Vielleicht sollte sich noch jemand anderes dazu äussern, irgendwie scheint mir meine Erklärung nicht so toll (es ist Sonntag Abend und es gelingt mir nicht, mich auszudrücken Hammer

Hammer

...)

08.10.2006, 22:46

Lazarus

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Du hast es doch schon fast auf den Punkt gebracht Frooke!

Zitat:

Das Integral ist ja gerade als Aufsummierung unendlich vieler unendlich feiner Teilstücke definiert. Egal wie der konkrete geometrische Hintergrund aussieht. Was Lazarus schreibt ist einfach die Summierung aller unendlichfeinen l_v Stücke... (ohne Grenzen)...

Der Zusatz der noch fehlt und wegen dem auch die Frage völlig zu recht gestellt wurde ist lediglich der, dass die Grenzen schon in $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Wir haben die Größe $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ja gerade so eingeführt, als Strecke zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Somit tauchen die infinistimialen Streckenstücke $\begin{eqnarray*} l_\nu \end{eqnarray*}$ nur zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auf, da es ja Unterteilungen dieser Strecke sind.

08.10.2006, 22:51

penizillin

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klasse, jetzt macht es sinn! (an die definition des integrals habe ich gerade einfach nicht gedacht)

danke euch!

10.10.2006, 06:42

Frooke

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Danke auch für deine Ausführungen, Lazarus!

10.10.2006, 09:12

zt

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Ich stell mich etwas doof an.

Muss ich, um das alles zu verstehen, mal den Differentialquotienten hergeleitet haben? Oder irgendetwas anderes, was mit Differential-/Integralrechnung zu tun hat?

10.10.2006, 13:14

Frooke

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Die Herleitung des Differentialquotienten ist ja eigentlich recht einfach:

Steigung m = Differenz der y dividiert durch Differenz der x:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Steigung auf dem Intervall [x,x+h]:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Steigung im Punkt x:

$\begin{eqnarray*} m=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Und ausser der Definition:

$\begin{eqnarray*} f'(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

und der Definition des Integrals musst Du eigentlich nichts wissen (natürlich noch den Satz des Pythagoras Augenzwinkern

Augenzwinkern

)...

Was geht denn genau nicht? bzw. wo denkst Du, dass Du Dich doof anstellst?

Betrachte sonst nochmal diese Veranschaulichung.

10.10.2006, 14:00

603

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Zitat:

Steigung auf dem Intervall [x,x+h]:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Kann jemand mal diesen Schritt etwas näher eräutern? Wie kommt man darauf?

10.10.2006, 14:04

zt

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Hat Frooke doch geschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Einfach nur $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ einsetzen.

$\begin{eqnarray*} m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

Edit: Danke Frooke, überdenke das heute Abend.

Edit: Hier die Grafik von Frooke.

10.10.2006, 14:28

Lazarus

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Tut mir leid, Frooke, dass ich schon wieder was hinterhergackern muss, allerdings glaube ich das es wichtig ist, auch die Herleitung der Integration zu kennen um den hier im Thread so wichtigen Schritt von der Summation der Teilabschnitt zur Integration der Funktion im Intervall zu verstehen.

Ich möchte mich dabei aber so kurz wie möglich halten.

Anfangen kann man indem man sich eine stetige, nichtnegative monotone Funktion hernimmt.

Nun wählt man ein Intervall [a;b] und zerteilt es in n Strücke, deren Fläche man als Rechtecke mit der Spaltenbreite $\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{Gesamtintervalllänge}}{n}=\frac{b-a}{n}=\Delta x \end{eqnarray*}$ und der jeweiligen Höhe $\begin{eqnarray*} f(\nu)_{\nu\in\{a,a+\nu,a+2\nu,...,a+n\nu=b\}}=f\left(a+\nu\cdot \Delta x\right) \end{eqnarray*}$ berechnen kann.
Die Fläche der Rechtecke addiert ist nun eine Näherung an die Fläche unter der Funktion:
$\begin{eqnarray*} A \approx \sum_{\nu \leqslant n}~f\left(a+\nu\cdot\Delta x\right)\cdot \Delta x =\overline{S_n} \end{eqnarray*}$
Die Unterscheidung zwischen Obersumme und Untersumme ist dabei nur anfänglich entscheidend, wie man später feststellen wird, da bei sinkender Spaltenbreite und somit steigender Intervallanzahl die Werte gegeneinander konvergieren.
Da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\overline{S_n} =A \end{eqnarray*}$ gilt und man durch weitere Untersuchungen festestellt, dass das Verfahren für monoton fallende, negative usw. Funktion weitgehend analog durchzuführen ist, ergibt sich die bekannte Definition $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b~f(x)~\mathrm dx~:=\lim_{n\to\infty}~ \sum_{\nu \leqslant n}~f\left(a+\nu\cdot\Delta x\right)\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$ auf der auch hier die Überlegungen aufbauen.

Ich hoffe es war nicht zu arg verkürzt, sodass die Verstädnlichkeit nicht gelitten hat. Abschliessend möchte ich noch anmerken dass die Integration an und für sich gänzlich Unabhänig von der Differentiation zu betrachten ist, und erst durch den HDI miteinander Verknüpft wird.

Servus

10.10.2006, 16:22

Frooke

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Zitat:

Original von Lazarus
Tut mir leid, Frooke, dass ich schon wieder was hinterhergackern muss, allerdings glaube ich das es wichtig ist, auch die Herleitung der Integration zu kennen um den hier im Thread so wichtigen Schritt von der Summation der Teilabschnitt zur Integration der Funktion im Intervall zu verstehen.

Es ist doch positiv, wenn mehrere Ansätze und Erklärungen erfolgen! Danke für Deine Beiträge in diesem Thread! Freude

Freude

! Und es ist natürlich wahr, dass dieser (entscheidende) Schritt durchaus seine Wichtigkeit hat.

Zitat:

Original von Lazarus
Ich hoffe es war nicht zu arg verkürzt, sodass die Verstädnlichkeit nicht gelitten hat. Abschliessend möchte ich noch anmerken dass die Integration an und für sich gänzlich Unabhänig von der Differentiation zu betrachten ist, und erst durch den HDI miteinander Verknüpft wird.

Dein letzter Satz ist richtig und auch sehr wichtig! Dennoch denke ich, dass gerade das Verständnis der von mir verlinkten Veranschaulichung im Zusammenhang mit F'(x)=f(x) sehr stark zum Verständnis des hier behandelten Problems beitragen kann (vor allem für die geometrischen Gedanken bezüglich Integrand usw., deshalb habe ich as auch gepostet!).

25.10.2011, 22:00

pi94

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herleitung
ich würde mich zuerst mal für die herleitung vom integrieren interessieren smile

smile

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