Koeffizienten eines Polynoms berechnen?

24.11.2009, 23:45

SandraHuhn

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Koeffizienten eines Polynoms berechnen?

Bitte bitte helft mir! Ich steh leider total auf dem Schlauch!
Ich tipp euch hier mal die Aufgabe ab:

>> Berechnen Sie die Koeffizienten a0 [a(tiefgestellt 0), a1, a2, a3, a4 des Polynoms

p(x) = SIGMA (unten: k=0 / oben: 4) ak (k ist tiefgestellt) * x^k

mit p(0)= 78, das die Nullstellen x1 (1 tiefgestellt) = 1; x2=-3; x3= 2+3i und x4= 2-3i besitzt. <<

Also ich hatte jetzt vor a0*x^0 + a1*x^1 + a2*x^2 + a3*x^3 + a4*x^4 zu machen, wobei ich da schon nicht weiterkomme unglücklich

unglücklich

Muss ich das 4 mal machen, also erst mit x1 und dann mit x2 usw?
Oder soll ich für x^1 x(tiefgestellt)1 einsetzen?
Aber selbst wenn, was sagt mir das p(0)=78 ?

ich hab gar keine Ahnung! Bitte bitte helft mir!!!!
Ich freu mich über jede Hilfe!!!
Grüßle Sandra

24.11.2009, 23:52

tigerbine

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RE: Koeffizienten eines Polynoms berechnen?
Willkommen

Willkommen

Bitte mach dich schnell mit latex vertraut. So hat man echt keine Lust das zu lesen. Danke.

Du hast 5 Wertepaare für 5 Koeffizienten. Dementsprechend ist ein LGS zu lösen. x darf hier aus C stammen. Ist etwas über die Koeffizienten angegeben?

25.11.2009, 10:56

SandraHuhn

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Berechnen Sie die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ , ... $\begin{eqnarray*} a_{4} \end{eqnarray*}$ des Polynoms

p(x) = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{k} \cdot x^{k} \end{eqnarray*}$

mit p(0)= 78, das die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ = 1 ; $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ = -3 ; $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ = 2+3i ; $\begin{eqnarray*} x_{4} \end{eqnarray*}$ = 2-3i

Ich hoffe, man kann das jetzt besser lesen Freude

Freude

Sonst ist leider nichts mehr angegeben.
Könntest du mir das etwas genauer erklären?
Ich kapier Mathe immer nur, wenn ich Rechnungen Schritt für Schritt nachverfolgen kann traurig

traurig

Tut mir Leid, ich weiß ich bin anstrengend Ups

Ups

Schonmal ganz vielen lieben Dank, dass du dich meinem Problem annimmst!

25.11.2009, 11:46

tigerbine

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Aber deswegen rechne ich es nicht vor. Neben der Aufgabenstellung Freude

Freude

muss nun auch ein bisschen was an Ideen von dir kommen.

[WS] Polynominterpolation - Theorie

Ferner auch mal drüber nachdenken, dass Nullstellen gegeben sind und was das so bedeutet. Gerade in Bezug auf Linearfaktoren. Man kann p doch schon fast sofort hinschreiben.

26.11.2009, 09:32

SandraHuhn

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Das habe ich auch gar nicht erwartet, ich dachte nur, dass du mir Ideen gibst, wie ich's anfangen kann. Mir ist klar, dass ich das selber rechnen muss, aber mir würde es einfach riesig helfen, wenn du einfach ein Beispiel rauspicken könntest um zu sagen, was ich wo einsetzen muss und vor allem warum.

Wie ich schon geschrieben habe, war das bis jetzt alles an Ideen von mir.
Ich verzweifel einfach an den Aufgaben, ich weiß nicht wo ich anfangen soll!
Ich werd jetzt mal deinen Link checken, ob ich damit weiter komm.

Die x sind die Nullstellen, mit komplexen Zahlen, na supi. Aber Linearfaktoren...ach ich könnt heulen!
Was meinst damit, dass man p schon gleich hinschreiben kann?
Oh ich könnt heuln!

Vielen Dank für deine Antworten, vielleicht magst du mir doch noch ein bisschen was genaueres sagen, wenn nicht trotzdem danke.

Liebes Grüßle Sandra
traurig

traurig

26.11.2009, 09:34

SandraHuhn

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RE: Koeffizienten eines Polynoms berechnen?

Zitat:

Original von SandraHuhn
Bitte bitte helft mir! Ich steh leider total auf dem Schlauch!

Also ich hatte jetzt vor a0*x^0 + a1*x^1 + a2*x^2 + a3*x^3 + a4*x^4 zu machen, wobei ich da schon nicht weiterkomme unglücklich

unglücklich

Muss ich das 4 mal machen, also erst mit x1 und dann mit x2 usw?
Oder soll ich für x^1 x(tiefgestellt)1 einsetzen?
Aber selbst wenn, was sagt mir das p(0)=78 ?

ich hab gar keine Ahnung! Bitte bitte helft mir!!!!

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26.11.2009, 10:00

SandraHuhn

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So, nochmal neu:

Ich erwarte von niemanden, dass er meine Aufgaben für mich macht, ein bisschen mehr Hilfestellung wäre aber schön.
Eine Hilfe wie ich sie mir erhoffe, würde so aussehen:
"Du hast eine Summenformel … und sollst die Koeffizienten…berechnen. Um die Koeffizienten zu berechnen, musst du zuerst einmal die gegebenen … Werte in … einsetzen und eine …Rechnung durchführen.
Dadurch erhälst du die … mit denen du dann letztendlich das … berechnen kannst und so die … rausfindest"

So würde ich vorgehen:
1. ich würde die $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ in die Summerformel einsetzen, undzwar so: $\begin{eqnarray*} a_{1}x_{1}^{1}+a_{2}x_{2}^{2} \end{eqnarray*}$ .....
Dann habe ich eine lange Kette von sinnlosen Rechnungen
2. Mit diesen Rechnungen komme ich nicht weiter, denn ich weiß nicht, was mir das p(0)=78 sagen will
3. Nun schlage ich meinen Kopf gegen die Wand bis meine Unzulänglichkeit nicht mehr so weh tut

Wo ist der Fehler?

26.11.2009, 11:10

Airblader

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Sagt dir Linearfaktorzerlegung etwas?

Jedes Polynom lässt sich als p(x) = a*(x-x0)(x-x1)...(x-xn) schreiben, wobei x0 bis xn die Nullstellen sind.
Mit der Bedingung an p(0) bekommst du dann noch den Faktor a heraus.

Am Ende kannst du alles ausmultiplizieren und hast dann die Form dastehen, die du brauchst.

Ist jedenfalls ein möglicher, trivialer Ansatz Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Drei Posts in 30 Minuten bringen dich nicht weiter und motivieren sicher niemanden dazu, dir schneller zu helfen. Etwas Geduld musst du haben, wir machen das hier ja nicht hauptberuflich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

26.11.2009, 17:23

SandraHuhn

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Vielen Dank für deine Hilfe! Wink

Wink

Werd mich glecih mal vertiefen.
Die 3 Posts waren nicht weil ich wollte dass schnell jemand antwortet, ich wollte eigentlich meinen 1. von den dreien editen, aber das ging nicht mehr, wollte es einfach besser ausdrücken, was ich gemeint hab, deshalb der 3. nochmal dazu. Man kann ja nur 15 min editen unglücklich

unglücklich

26.11.2009, 20:40

SandraHuhn

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siehe unten, sorry ich spame hier alles voll, wollte eigentlich nur editen, wenigstens hab ich jetz einigermaßen latex druff

26.11.2009, 20:40

SandraHuhn

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So hab ich das jetzt aufgefasst, ausgerechnet hab ich's noch nicht, das wird ne schöne Arbeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} p(x) =\sum_{k=0}^n~4 => p(x) = a_{0} x_{blub}^{0}+ a_{1}x_{blub}^{1} + a_{2}x_{blub}^{2} + a_{3}x_{blub}^{3} + a_{4}x_{blub}^{4} \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} x_{blub} = (x-1)(x+3)(x-(2+3i))(x-(2-3i)) \end{eqnarray*}$ , damit es nicht zu lang wird)

Dann sollte doch sowas rauskommen, oder?

$\begin{eqnarray*} p(x)= a_{0}x_{irgendwas}^{0} + a_{1}x_{irgendwas}^{1} + a_{2}x_{irgendwas}^{2} + a_{3}x_{irgendwas}^{3} + a_{4}x_{irgendwas}^{4} \end{eqnarray*}$

Mal schauen ob ich das pack, aber ich hab so das komische Gefühl, dass ich da was gravierend falsch gemacht hab……

26.11.2009, 20:47

tigerbine

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Länger ging es wohl nicht? Big Laugh

Big Laugh

Das Polynom ist vom Grad 4, hat also 4 Nullstellen, die du doch schon kennst. Bei air ist ungübstig, dass er die Nullstellen bei 0 beginnt zu nummerieren. Man hat einen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ mehr als Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} p(x)=a(x-1)(x+3)(x-(2+3i))(x-(2-3i)) \end{eqnarray*}$

Fasse als erstes mal die letzten beiden zusammen.

26.11.2009, 20:59

SandraHuhn

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Supi, dass du grad da bist! Wink

Wink

Ja, das grad eben war schon sehr lang! Hab's deswegen abgekürzt, musste auch einige Sachen nachbessern.
Also nur bei den letzten beiden komme ich auf
$\begin{eqnarray*} x^{2}-4x+13 \end{eqnarray*}$
right?
Ich mach mich gleich mal daran die anderen beiden auszurechnen (ja, selbst dafür brauch ich ne Weile XD )

26.11.2009, 21:05

SandraHuhn

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Bei $\begin{eqnarray*} (x-1)(x+3) = x^{2}+2x-3 <br /> <br /> (x^{2}+2x-3)(x^{2}-4x+13)<br /> = x^{4}-2x^{3}+2x^{2}+38x-39 \end{eqnarray*}$

sieht merkwürdig aus!
Und das soll ich jetzt auch noch quadrieren bzw ^3 und ^4 ?

26.11.2009, 21:38

tigerbine

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Was willst du da quadrieren.... geschockt

geschockt

Wir sind doch schon fast fertig...

$\begin{eqnarray*} p(x)=a[x^{4}-2x^{3}+2x^{2}+38x-39] \end{eqnarray*}$

Und wir wissen

$\begin{eqnarray*} p(0)= 78 \end{eqnarray*}$

Wie lautet also a?

26.11.2009, 21:50

SandraHuhn

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-2 ?
wirklich? a ist -2 ? Ups

Ups

Aber wie geht es dann weiter? Ist $\begin{eqnarray*} a_{0} bis a_{4} \end{eqnarray*}$ auch -2?

26.11.2009, 21:53

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Was willst du da quadrieren.... geschockt

geschockt

Wir sind doch schon fast fertig...

$\begin{eqnarray*} p(x)=a[x^{4}-2x^{3}+2x^{2}+38x-39] \end{eqnarray*}$

Und wir wissen

$\begin{eqnarray*} p(0)= 78 \end{eqnarray*}$

Wie lautet also a?

Jo, a=-2. Dann löse halt die Klammer [] auf und lese die Koeffizienten ab.

26.11.2009, 22:00

Airblader

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Wenn ich mich mal einschalten darf, um das vermutliche Missverständnis (wg Quadrieren etc.) zu klären:

@SandraHuhn
Es ist nicht

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_4x_b^4 + a_3x_b^3 + a_2x_b^2 + a_1x_b + a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_b = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) \end{eqnarray*}$

Sondern es ist

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = a_4 \cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) \end{eqnarray*}$

Das ist ein bedeutender Unterschied!
Schaue dir am besten nochmal an, was eine Linearfaktorzerlegung ist.

air

26.11.2009, 22:10

SandraHuhn

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$\begin{eqnarray*} p(x)=-2x^{4}+4x^{3}-4x^{2}-76x+78] \end{eqnarray*}$

Dann wären also meine Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} a_{4}=-2 ; a_{3}=4 ; a_{2}=-4 ; a_{1}=-76 ; a_{0}=-2 \end{eqnarray*}$

Bei a0 bin ich mir nicht sicher, es tut mir so Leid, Leute, ich komm mir so hohl vor!

Vielen Dank für deinen Hinweis air, das war mir nicht klar, deswegen auch das mit dem quadrieren Ups

Ups

Die Linearfaktorzerlegung is mir ein bisschen suspekt, ich arbeite gerade parallel an einer, aber ich peils nicht so ganz, ich soll das mit dem Horner-Schema machen, google läuft bei mir heiß, weil mein Script dazu nichts hergibt.
Wie man ein Horner Schema macht is mir (zumindest halbwegs) klar, aber was will ich damit erreichen?
Alle Nullstellen rausfinden?

26.11.2009, 22:12

tigerbine

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Am Ende steht doch 78.... unglücklich

unglücklich

26.11.2009, 22:17

SandraHuhn

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Zitat:

Original von tigerbine
Am Ende steht doch 78.... unglücklich

unglücklich

Ohje ohje, du armes ding verzweifelst hier mit mir, das tut mir sehr Leid, ich bin einfach nicht für höhere Mathe geboren traurig

traurig

Aber ich danke dir und air ganz ganz arg! Ohne euch hätte ich das nicht gepackt, nicht in 100 Jahren!
Gott

Gott

Gott

Gott

26.11.2009, 22:22

Airblader

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Zitat:

Original von SandraHuhn
ich soll das mit dem Horner-Schema machen, google läuft bei mir heiß, weil mein Script dazu nichts hergibt.
Wie man ein Horner Schema macht is mir (zumindest halbwegs) klar, aber was will ich damit erreichen?
Alle Nullstellen rausfinden?

Eigentlich sollte man eher wissen, was man erreichen will und sich dann überlegen, welches Verfahren man anwendet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da Google bei dir heiß läuft, aber wikipedia wohl nicht kennt, zitiere ich dir hier mal den ersten Satz des Artikels zum Hornerschema:

Zitat:

Das Horner-Schema (..) ist ein Umformungsverfahren für Polynome, um die Berechnung von Funktionswerten zu erleichtern. Es kann genutzt werden, um die Polynomdivision sowie die Berechnung von Nullstellen und Ableitungen zu vereinfachen.

air

26.11.2009, 22:38

SandraHuhn

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Ok, das mit den Nullstellen war mir klar, ich hab nur mir mal den Graph meiner Funktion berechnen lassen und die Nullstellen, außer der einen die angegeben war, waren
x1= -2,73048304830schießmichtot
x2=0,7308237408schießmichtot
da kann ich probieren wie ich will, diese Nullstellen krieg ich nich als Bruch raus, ich muss das nochmal überdenken.

Das was ich im Internet gefunden hab war, dass ich praktisch die Nullstellen ins Horner-Schema einsetze und so das Polynom der 3. Ordnung langsam runterbrech, stimmt das?
Die Linearfaktoren wären dann doch (x+2,73847) und (x-0,732936) (der Rest hinter 73 ist frei erfunden)
Ich zerbrech mir mal weiter darüber den Kopf, ich stell die Aufgabe einfach mal hier rein, damit ihr wisst wovon ich rede (is eigentlich ne einfache, aber für mich anscheinend schon wieder zu viel)
______________________________________

$\begin{eqnarray*} q(x)= 3x^{3} - 7x^{2} - 4x + 2 \end{eqnarray*}$

(i) Werten Sie das Polynom an der Stelle x = 1/3 aus.
(ii) Zerlegen Sie das Polynom in lineare Faktoren.
Die notwendigen Rechnungen sind mit dem Horner-Schema durchzuführen.
_______________________________________

(i) Hab ich ausgewertet, da kommt dann raus, dass es ne Nullstelle ist:
…………… 3… -7… -4 … 2
x=1/3 … 1 … -2 … -2
…………… 3 … -6 …-6 … 0
(Tut mir leid, hab gesehen, das hat es verzogen unglücklich

unglücklich

ich hab eigentlich ordentliche Abstände gemacht)deswegen die Punkte

Das ist doch soweit richtig, oder?

Ok, jetz such ich weiter nach der Zerlegung....

26.11.2009, 22:50

Airblader

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Es ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} p\left(\frac13\right) = 0 \end{eqnarray*}$ , also hast du mit $\begin{eqnarray*} x_0 = \frac13 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle.

Durch Polynomdivsion (ggf. mithilfe des Hornerschemas - siehe wikipedia) kannst du das Polynom nun in den Linearfaktor (x-x0) und ein Polynom zweiten Grades zerlegen.
Dessen Nullstellen kannst du elementar berechnen (pq-Formel, ...) und so die Linearfaktorzerlegung letztlich angeben.

Edit: Wobei man p(1/3) hier wirklich locker per Hand auswerten kann, da finde ich Hornerschema etwas übertrieben - aber nunja.

air

26.11.2009, 23:04

SandraHuhn

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Dankeschön! Du hast mich grad in meiner Rechnung bestätigt, genau das hab ich grade rausgefunden.
Ich glaub das Problem is bei mir manchmal, dass ich mir das zu kompliziert vorstelle, wenn's kompliziert aussieht krieg ich gleich Panik und denk um 150 Ecken.

Die Stelle 1/3 mit Horner Schema kommt mir fast zu einfach vor, ich weiß nicht was ich da schreiben soll, einfach dass x=1/3 eine Nullstelle ist?
Ich denk ich weiß schon wie ich das mach.

Nochmal ganz vielen lieben Dank, ihr seid meine Retter in der Not! Ich bin jetz auch tierisch müde und will nur noch ins Bett, aber ich werd das jetzt alles nochmal ordentlich aufschreiben, damit ich es für die Ewigkeit festhalten kann XD
Danke danke danke danke danke danke danke danke!
Mit Zunge

Mit Zunge

Mit Zunge

26.11.2009, 23:50

Airblader

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Gern geschehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und ja - das ist alles zum ersten Teil der Aufgabe. Du sollst es an einer Stelle auswerten - und wenn du die Null hast, hast du das getan. Dass dies bedeutet, dass es eine Nullstelle ist, ist sogar schon ein Schritt weitergedacht und nützlich für den zweiten Teil Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

28.11.2009, 18:31

SandraHuhn

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Hallo nochmal,
ich hab mir alles nochmal durchgedacht und hab mich gefragt ob man meine ursprüngliche aufgabe mit $\begin{eqnarray*} a_{k} x^{k} \end{eqnarray*}$ auch mit dem Horner-Schema rechnen kann.
Ich hab dauernd rumüberlegt wie das funktionieren soll, aber ich hab keinen Schimmer.
Deswegen nur die Frage: Kann man diese Rechnung auch mit dem Horner-Schema machen, und wenn ja, ist das nicht total kompliziert?

11.07.2010, 16:43

SandraHuhn

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Ich brauche diese Formel für ein Protokoll und ich habe kein Programm in dem ich Formeln schreiben kann, deswegen versuch ich das hier im Forum hinzukriegen, sry

$\begin{eqnarray*} \frac{OD_{260}}{OD_{280}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{0,101 ABS}{0,057 ABS} \end{eqnarray*}$

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