zeigen sie ... ist abelsche Gruppe

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25.11.2009, 17:25	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Sei $\begin{eqnarray} G := \mathbb Q \end{eqnarray}$ \ { $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ } Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} ( G, o ) \end{eqnarray}$ eine abelsche Gruppe ist, wobei $\begin{eqnarray} o : \mathbb Q \times \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a o b := a + b - ab. \end{eqnarray}$ ------------------------------------------ Soweit ersteinmal zur Aufgabenstellung. Um zu Zeigen, dass (G,o) eine abelsche Gruppe ist, müsste ich die Gruppenaxiome ( Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrales Element, inverse Elemente, und schlussendlich Kummutativität ) zeigen. Beginnen wir mit der Abgeschlossenheit $\begin{eqnarray} \forall a,b \in G : a o b \in G \end{eqnarray}$ An diese Stelle die erste Frage: $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ ?
25.11.2009, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
NEIN $\begin{eqnarray} a,b \in G=\mathbb Q \backslash \{1\} \end{eqnarray}$ .
25.11.2009, 18:34	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier wurde $\begin{eqnarray} G:=\mathbb{R}\setminus\{-1\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \circ~:~ G\times G\to G,~ (a,b)\mapsto a+b+ab \end{eqnarray}$ besprochen, vielleicht findest du da ja ein paar Anregungen.
25.11.2009, 19:15	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Abgeschlossenheit: $\begin{eqnarray} \forall a,b \in G : a o b \in G \end{eqnarray}$ kann man einfach für a,b einsetzen a=a/b; b=c/d ? $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ \ {1} $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{c}{d} - \frac{ac}{bd} = \frac{ad+cb}{bd} - \frac{ac}{bd} = \frac{ad+cb-ac}{bd} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ \ {1} und die nächste frage wäre: gilt das jetzt schon als erfüllt ? oder war das totaler Schwachsinn? EDIT: das verloren gegangene a gerettet
25.11.2009, 19:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte erst mal a=p/q geschrieben und nicht a=a/b , weil das mißverständlich ist. Ansonsten ist der Beginn sinnvoll, nur ein bißchen falsch (ac statt c am Ende im Zähler). Für die Abgeschlossenheit mußt du beweisen, daß der Bruch von 1 verschieden ist. Fazit: Gut, aber nicht gut genug.
25.11.2009, 19:46	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ \ {1} $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{c}{d} - \frac{ac}{bd} = \frac{ad+cb}{bd} - \frac{ac}{bd} = \frac{ad+cb-ac}{bd} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ \ {1} angenommen: $\begin{eqnarray} \frac{ad+cb-ac}{bd} = 1 \end{eqnarray}$ daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} ad + cb - ac = bd \end{eqnarray}$ sein muss. Frage: Muss ich jetzt beweisen, dass dem nicht so ist ? oder genügt ein Beispiel wo dem nicht so ist? damit $\begin{eqnarray} \frac{ad+cb-ac}{bd} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ \ {1} erfüllt ist?
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25.11.2009, 19:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenfrage. Muß eine Gruppenoperation für zwei Elemente oder für alle Elemente abgeschlossen sein ?
25.11.2009, 19:55	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du so fragst: Für alle Elemente natürlich. aber wie kann man betreffende Gleichung belegen bzw wiederlegen - gibt es noch eine geschicktere Art und Weise die Abgeschlossenheit zu belegen? oder ist das hier zumindest schonmal ein Richtiger Weg?
25.11.2009, 20:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Weg ist in Ordnung. Das ist eine Aufgabe für ganz fleißige Leute.
25.11.2009, 20:24	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} ad + cb - ac = bd \end{eqnarray}$ zum weiteren vorgehen: ich bin gerade etwas verwirrt von den vielen Variablen - und habe nicht so recht einen Ansatz wie ich anfangen soll habe bislang versucht auszuklammern, nach einer variable aufzulösen und einzusetzen aber - das hat die Gleichung eher verkompliziert als vereinfacht
25.11.2009, 21:01	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} ad + cb - ac = bd \end{eqnarray}$ \| Nennen wir mal (1) $\begin{eqnarray} ad + cb - ac = bd \end{eqnarray}$ \| links c ausklammern $\begin{eqnarray} => ad + c(b - a) = bd \end{eqnarray}$ \| minus ad $\begin{eqnarray} => c(b - a) = bd - ad \end{eqnarray}$ \| geteilt durch (b-a) $\begin{eqnarray} => c = \frac{bd - ad}{b-a} \end{eqnarray}$ \| rechts d ausklammern $\begin{eqnarray} => c = \frac{d(b-a)}{b-a} \end{eqnarray}$ \| b-a kürzen $\begin{eqnarray} => c = d \end{eqnarray}$ \| Nennen wir mal (2) Jetzt setzen wir (2) in (1) ein und erhalten dann: $\begin{eqnarray} ac + bc - ac = bc \end{eqnarray}$ \| minus bc $\begin{eqnarray} 0 = 0 \end{eqnarray}$ ähm ersteinmal sind die Umformungen soweit korrekt ? und die nächste Frage: Was habe ich jetzt bewiesen? bzw wollte ich nicht eigentlich einen Wiederspruch haben? damit die Abgeschlossenheit erfüllt ist?
26.11.2009, 18:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Du hast sehr schön bewiesen, dass 0=0 ist. In deinem Beweisversuch steckt aber auch schon alles, was man braucht, ich schreibe es deshalb ab und nur ein bißchen um, dann sind wir fertig. Annahme : $\begin{eqnarray} \frac {ad+bc-ac} {bd}=1 \Rightarrow ad + bc - ac = bd \end{eqnarray}$ \| links c ausklammern $\begin{eqnarray} \Rightarrow ad + c(b - a) = bd \end{eqnarray}$ \| minus ad $\begin{eqnarray} \Rightarrow c(b - a) = bd - ad \end{eqnarray}$ \|rechts d ausklammern $\begin{eqnarray} \Rightarrow c(b - a) = d(b - a) \end{eqnarray}$ Voraussetzung : $\begin{eqnarray} \frac a b \in G \Rightarrow \frac a b \neq 1 \Rightarrow a\neq b \Rightarrow a-b\neq 0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ man darf durch a-b dividieren, was wir denn auch tun $\begin{eqnarray} \Rightarrow c = d \end{eqnarray}$ \| durch d dividieren (das geht, weil d ungleich 0, sonst wäre c/d nicht in G) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac c d = 1 \end{eqnarray}$ im Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray} \frac c d \in G \end{eqnarray}$ Also ist die Annahme falsch, also ist $\begin{eqnarray} (G,o) \end{eqnarray}$ abgeschlossen.
26.11.2009, 21:06	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Danke soweit kommen wir nun zur Assoziativität: $\begin{eqnarray} \forall a,b,c \in G : (aoc)oc = ao(boc) \end{eqnarray}$ das ganze dann eingesetzt: $\begin{eqnarray} \forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ \ {1} $\begin{eqnarray} \Rightarrow \left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} - \frac{ac}{bd} \right)o c = ao \left( \frac{c}{d} + \frac{e}{f} - \frac{ce}{df} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} - \frac{ac}{bd}\right) + \frac{e}{f} - \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} - \frac{ac}{bd}\right) \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f} - \frac{ce}{df} \right) - \frac{a}{b} \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f} - \frac{ce}{df} \right) \end{eqnarray}$ \| jetzt wird einiges rausgeworfen aus der Gleichung ( + / - ) $\begin{eqnarray} \Rightarrow - \frac{ac}{bd} - \frac{e}{f} \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}-\frac{ac}{bd}\right) = - \frac{ce}{df} - \frac{a}{b} \left( \frac{c}{d}+ \frac{e}{f}- \frac{ce}{df} \right) \end{eqnarray}$ \| jetzt wird die Klammer aufgelöst $\begin{eqnarray} \Rightarrow - \frac{ac}{bd} - \frac{ea}{fb} - \frac{ec}{fd}+\frac{eac}{fbd} = - \frac{ce}{df} - \frac{ac}{bd} - \frac{ae}{bf} + \frac{ace}{bdf} \end{eqnarray}$ \| jetzt wird wieder gnadenlos rausgeworfen ( + / - ) $\begin{eqnarray} \Rightarrow 0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Assoziativität ist der Beweis soweit korrekt ? für die Assoziativität? PS: ich hoffe ich habe mich bei den ellenlangen formeln nicht allzuoft vertippt
26.11.2009, 21:50	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Nun kommen wir zum neutralen Element : $\begin{eqnarray} \exists e \in G \forall a \in G : e o a = a \end{eqnarray}$ setzen wir ein: $\begin{eqnarray} e + \frac{a}{b} - e \frac{a}{b} = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{eb+a}{b} - \frac{ea}{b} = e \end{eqnarray}$ \| mal b $\begin{eqnarray} \Rightarrow eb+a-ea = eb \end{eqnarray}$ \| minus be $\begin{eqnarray} \Rightarrow a-ea = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a = ea \end{eqnarray}$ \| durch a $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{a}{a} = e \end{eqnarray}$ hm.... eigentlich wollte ich beweisen, dass es ein neutrales Element gibt! a/a = e würde ja bedeuten, dass e = 1 ist, was aber laut definition nicht sein darf ( Q / {1} ) - Wo ist der Fehler ?
27.11.2009, 17:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Deine Vorgehensweise beim Beweis der Assoziativität ist nicht zielführend. Du zeigst wieder mal 0=0, das hat Euklid schon gewußt, bringt uns also nicht weiter. Vorschlag: Berechne zum Beweis von Formeln A=B jeweils die linke Seite der Gleichung (A) und die rechte Seite der Gleichung (B) unabhängig voneinander. Wenn dann dasselbe (C) herauskommt, folgt logisch $\begin{eqnarray} A=C \wedge B=C\Rightarrow A=C \wedge C=B \end{eqnarray}$ wegen Symmetrie von "=" $\begin{eqnarray} A=C \wedge C=B \Rightarrow A=B \end{eqnarray}$ wegen Transitivität von "=" Das kannst du für die Beweise der Assoziativität und Kommutativität benutzen, und immer und immer und immer wieder anwenden.
27.11.2009, 18:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für das neutrale Element $\begin{eqnarray} \frac e f \end{eqnarray}$ möchtest du beweisen $\begin{eqnarray} \frac e f o \frac a b=\frac a b \end{eqnarray}$ , fängst dann aber an mit $\begin{eqnarray} \frac e f o \frac a b = \frac e f \end{eqnarray}$ . Das ist merkwürdig. Wenn du die zu beweisende Behauptung einmal hinschreibst und berechnest, siehst du bestimmt sofort, wie das neutrale Element aussehen muss.
29.11.2009, 18:01	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Assoziativität die 2te : $\begin{eqnarray} \forall a,b,c \in G : (aoc)oc = ao(boc) \end{eqnarray}$ Eingesetzt: $\begin{eqnarray} ( a+b-ab ) o c = a o ( b+c-bc ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <=> ( a+b-ab ) + c - (a+b-ab) c = a + ( b+c-bc ) - a ( b + c - bc ) \end{eqnarray}$ \| ausmultipliiert und ein bisschen sortiert ergibt dass $\begin{eqnarray} <=> a + b - ab + c - ac -bc +abc = a + b - ab + c - ac -bc +abc \end{eqnarray}$ wie man schnell sieht, sind beide Seiten gleich und daraus folgt die Assoziativität
29.11.2009, 18:09	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Neutralrales Element die 2te : $\begin{eqnarray} \exists e \in G \forall a \in G : e o a = a \end{eqnarray}$ Eingesetzt: $\begin{eqnarray} e + a -ea = a \end{eqnarray}$ \| -a \|+ea $\begin{eqnarray} e = ea \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow e = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ das Neutrale Element muss 0 sein.
29.11.2009, 18:18	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Inverse Elemente: $\begin{eqnarray} \forall a \in G \exists a' \in G : a' o a =e \end{eqnarray}$ Eingesetzt: $\begin{eqnarray} a' + a - a'a =e \end{eqnarray}$ Wie komme ich hier weiter?
29.11.2009, 18:34	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen sie ... ist abelsche Gruppe Und Schlussendlich: Kummutativität: $\begin{eqnarray} \forall a,b \in G : a o b = b o a \end{eqnarray}$ Eingesetzt: $\begin{eqnarray} a + b - ab = b + a - ba \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a + b - ab = a + b - ab \end{eqnarray}$ \| addition und multiplikation kommutatitv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ da Abgeschlossen, Assoziativ, neutrales Element, invere Elemente und Kummutativität gelten ist (G, o) eine abelsche Gruppe.
29.11.2009, 18:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles fertig und im wesentlichen richtig, bis auf Inverse. Tipp: Löse die Gleichung $\begin{eqnarray} a'+a-a'a=0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} a' \end{eqnarray}$ auf, und zeige dass die Lösung ungleich 1 ist.
29.11.2009, 19:16	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Elemente: $\begin{eqnarray} a'+a-a'a=0 \end{eqnarray}$ \| -a \| +a'a $\begin{eqnarray} a'=a'a-a \end{eqnarray}$ hm... sollte ich an dieser Stelle schon etwas erkennen ?
29.11.2009, 19:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. "Trennung der Variablen"
29.11.2009, 19:32	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme schonwieder auf 0=0 x_x
29.11.2009, 19:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, deine Rechenfertigkeit ist ausbaufähig. $\begin{eqnarray} a'+a-a'a=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a' (1-a)=-a \end{eqnarray}$ \| : (1-a) , das geht weil $\begin{eqnarray} a \neq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a' =\frac {-a} {1-a} \end{eqnarray}$
29.11.2009, 19:45	Cyberman	Auf diesen Beitrag antworten »
dieses Ausklammern vergesse ich jedes mal Vielen Lieben Dank für deine Mühen und vor allem deine Ausdauer
01.12.2009, 19:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlt nur noch der Nachweis, dass $\begin{eqnarray} a'\in G \end{eqnarray}$ , das kriegst du aber leicht hin (oder?).

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