Vektorraum = direkte Summe aus Kern und Bild von f |
25.11.2009, 17:28 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vektorraum = direkte Summe aus Kern und Bild von f Ich habe leider ein Problem bei einer Aufgabe und komme nicht so recht weiter. Sie lautet wie folgt: Sei V ein K-Vektorraum, f: V -> V eine k-lineare Abb. mit f verknüpft mit f = f. Zeige: und gib ein konkretes Beispiel einer solchen Abbildung an, die nicht trivial ist, d.h. weder die Identität noch die Nullabbildung. Also, mir ist es schon klar, dass so sein muss, wenn f(f(x)) = f ist...aber ich hab irgendwie nicht die richtige Idee, zu zeigen, warum das daraus folgt. f müsste doch eigentlich die Identität sein? Wär euch sehr dankbar für eine kleine Hilfestellung! Liebe Grüße |
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25.11.2009, 18:00 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast prinzipiell erstrmal zwei Dinge zu zeigen: 1. 2. Versuche dich daran mal. |
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25.11.2009, 19:07 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey, also das 2. ist ja eigentlich dann klar, da ja der Ker(f) im Bild von f enthalten ist, der Kern besteht ja aus der Menge der v für die gilt f(v) = 0, und der Schnitt von den beiden kann dann ja nur die 0 sein, oder begründe ich das dann falsch? Kann ich dann nicht auch 1. aus 2. folgern? Danke für deine Hilfe auf jeden Fall |
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25.11.2009, 22:16 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. folgt aus 2. und der Dimensionsformel. Das ist korrekt. Allerdings gibt es einen schöneren Beweis, der nur ausnutzt. Es ist ja ... Deine Begründung für 2. ist allerdings nicht korrekt. Du könntest so vorgehen: Wähle ein , dass sowohl im Kern als auch im Bild von f liegt und folgere . Es gibt ein mit . Dann ist |
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26.11.2009, 19:07 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, danke, bei 2. hab ich jetzt raus, dass im Endeffekt folgt, dass f(v) = f(x), also 0 = f(0) ist und dann kann der Schnitt von Bild und Kern ja nur die 0 enthalten. Richtig? Dann versuch ich mich mal an der 1. weiter. Ich danke dir! |
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26.11.2009, 19:25 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, bei 1. hätte ich jetzt so argumentiert: x = f(x) + f(f(x)) - f(f(x)) weil f(f(x)) = f(x) f(x) ist dann ja das Bild von x und f(f(x)) - f(f(x)) ist ja 0, und die liegt ja im Kern von diesem f => also ist x = Im f + Ker f Geht das so? |
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27.11.2009, 10:53 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was da steht, ist Und das ist im Allgemeinen eindeutig falsch. |
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27.11.2009, 17:00 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achja, hm. Wenn ich dann x = x - f(f(x)) + f(x) habe, darf ich denn dann sagen, dass der Teil + f(x) das Bild und x - f(f(x)) den Kern darstellt? Also ist das der richtige Weg um es zu zeigen? |
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27.11.2009, 18:57 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum denn ? Das ist zwar auch richtig, aber ich hab doch geschrieben: Nun setze mal und berechne . Was folgt daraus für y? |
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27.11.2009, 20:02 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
y = 0 und dann besteht V ja auch daraus folgend aus der direkten Summe vom Kern und dem Bild. |
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27.11.2009, 20:06 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wer sagt das? |
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27.11.2009, 20:06 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und bzgl einem konkreten Beispiel hab ich mir f(x) = x² überlegt, aber von den positiven reellen Zahlen in die positiven reellen Zahlen. Dann besteht der Kern ja auch nur aus der 0 und das Bild von f geschnitten Kern enthält nur die 0 und somit würde V auch so aussehen wie gefordert. Richtig? |
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27.11.2009, 20:07 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das folgt doch weil f(y) = 0. Da der Kern aber nach 2. nur aus der 0 besteht, muss es f(0) sein, also y = 0 |
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27.11.2009, 20:10 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Kern besteht nicht notwendigerweise nur aus der 0. Wer hat das denn schon wieder behauptet? Du sollst ja sogar ein Beispiel angeben, bei dem der Kern nicht nur aus der 0 besteht. Dann wäre f nämlich die Identität. Dein Beispiel ist übrigens völlig sinnlos, da nicht linear ist. Aber kommen wir zu dem, was richtig ist: f(y)=0. Also ist y im Kern. f(x) ist im Bild. Also ist |
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27.11.2009, 20:56 | Kaninchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja ok. Kann ich für die andere Richtung zeigen, dass Ker (f) + Im (f) einen Untervektorraum von V bilden und somit in V enthalten sind? |
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28.11.2009, 11:03 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Die Summe zweier Unterräume ist wieder ein Unterraum. Aber was du immer noch nicht richtig gezeit hast, ist die 2. Aussage. Daran solltest du dich nochmal versuchen. |
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02.06.2011, 19:15 | Trotteltrottel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ähm, warum soll denn f(x-f(x))=0 gelten? Dass f eine Projektion ist war nicht vorausgesetzt... |
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02.06.2011, 19:17 | Trotteltrottel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
schon ok, habe mich verlesen.... |
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