integral x^2 * sqrt(1-x^2)

26.11.2009, 13:57

gonnabmd

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integral x^2 * sqrt(1-x^2)

Ich soll folgendes (unbestimmtes) Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int~x^2\cdot\sqrt{1-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

bis jetzt bin ich nicht weit gekommen...

dachte evtl. an etwas wie:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^2\cdot(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}~dx \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ nach arcsin(x) aussieht...

26.11.2009, 13:59

IfindU

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RE: integral x^2 * sqrt(1-x^2)
Versuch mal sin(z):= x zu substituieren.

26.11.2009, 14:22

gonnabphd

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das führt mich dann zum Integral:

$\begin{eqnarray*} \int~sin^2(z) \cdot cos^2(z)~dz \end{eqnarray*}$

jetzt frage ich dich, ob ich blind bin... sehe die lösung dafür nicht.

26.11.2009, 14:28

IfindU

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Wie es aussieht hast du die Wurzel falsch aufgelöst und falsch substituiert.

26.11.2009, 15:15

gonnabphd

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hm, ok. 2-ter Versuch:

Sei sin(z) := x

ich ersetze also alle x durch sin(z) und dx durch cos(z) dz

dann ist:

$\begin{eqnarray*} \int~x^2\cdot\sqrt{1-x^2}~dx = \int~sin^2(z)\cdot\sqrt{1-sin^2(z)} \cdot cos(z)~dz \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} 1-sin^2(z) = cos^2(z) \end{eqnarray*}$

ist nun doch

$\begin{eqnarray*} \int~sin^2(z)\cdot\sqrt{1-sin^2(z)} \cdot cos(z)~dz = \int~sin^2(z)\cdot cos(z) \cdot cos(z)~dz = \int~sin^2(z) \cdot cos^2(z)~dz \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

26.11.2009, 15:32

IfindU

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Ich nehm alles zurück, war richtig, ich hab falsch substituiert Forum Kloppe

Forum Kloppe

Aber bei deinem Integral kannst du wieder die Identität sin(x)^2 = 1-cos(x)^2. Damit kriegst du 2 Ausdrücke, die mit partieller Integration zu bewältigen sein müssten.

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26.11.2009, 16:01

gonnabphd

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hab auch da noch so meine Probleme...

könntest du mir evtl. nochmal nen Tipp geben oder halt gleich den nächsten Schritt zeigen?

$\begin{eqnarray*} \int~sin^2(z) \cdot (1-sin^2(z))~dz = ...? \end{eqnarray*}$

26.11.2009, 16:08

IfindU

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Ausmultiplizieren und dann hast du einmal $\begin{eqnarray*} \int~sin^2(x)~dx \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} \int~sin^4(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

Vom ersten weiß es ich dass es mit partieller Integration geht - beim zweiten bin ich zuversichtlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.11.2009, 17:16

gonnabphd

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hmm mit partieller integration... unglücklich

unglücklich

ich blick nicht durch:

$\begin{eqnarray*} \int~sin^2(x)~dx \end{eqnarray*}$

also, f(x):=sin(x) g'(x):=sin(x) bringt wohl nichts (?) ... Soll ich dann sowas wie

$\begin{eqnarray*} \int~sin^2(x)~dx=\int~1 \cdot sin^2(x)~dx= x \cdot sin^2(x) - \int~2\cdot x \cdot sin(x) \cdot cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

machen?

Dann stört doch im letzen Integral das x ziemlich... Ich schreib einfach mal ein paar Gedanken auf:

$\begin{eqnarray*} x \cdot 2\cdot sin(x)\cdot cos(x) = x \cdot sin(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~x\cdot sin(2x)~dx = \frac{-cos(2x)\cdot x}{2} - \int~\frac{-cos(2x)}{2}~dx = \frac{-cos(2x)\cdot x}{2} +\frac{sin(2x)}{4} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \int~sin^2(x)~dx=x \cdot sin^2(x) - (\frac{-cos(2x)\cdot x}{2} +\frac{sin(2x)}{4})=x \cdot (sin^2(x) +\frac{cos(2x)}{2}) -\frac{sin(2x)}{4} \end{eqnarray*}$

smile

smile

doch noch irgendwo gelandet. Sollte stimmen, oder?

26.11.2009, 17:23

IfindU

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Werd mich demnächst klarer ausdrücken. Als ich partielle Integration sagte, meinte ich:
$\begin{eqnarray*} \int~\sin^2(x)~dx = \int~\sin(x)\cdot \sin(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

Das ist ein bekanntes Integral und lässt sich mit doppelter partiellen Integration leicht herleiten. [Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray*} \frac{x-\sin(x) \cdot \cos(x)}{2} \end{eqnarray*}$ ]

So ähnlich dachte ich das auch beim zweiten Integral, bloss dort es in zwei gleiche Integrale aufzuspalten, wobei du das Integral von oben benutzen könntest.

Nebenbei hab ich nachgeprüft, dein Integral stimmt auch, interessant dass es auch so geht, wobei die Identität oben wohl etwas angenehmer ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.11.2009, 17:37

gonnabphd

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lol, ich komm auf deinem Weg nicht zu einem Ende, könntest du's einfach kurz hinschreiben?

$\begin{eqnarray*} \int~sin(x)\cdot sin(x)~dx = -cos(x)\cdot sin(x) - \int~-cos(x) \cdot cos(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -cos(x)sin(x) + \int~1-sin^2(x)~dx = x - cos(x)sin(x) - \int~sin^2(x)~dx=... \end{eqnarray*}$

das schein kein Ende zu nehmen mit den sin^2(x) traurig

traurig

26.11.2009, 17:39

gonnabphd

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ahhh!!! heureka:

dann erkennt man

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \int~sin(x)\cdot sin(x)~dx = x - cos(x)sin(x) \end{eqnarray*}$

26.11.2009, 17:40

gonnabphd

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Freude

Prost

Prost

Prost

Prost

Prost

Prost

Prost

Prost

Prost

Prost

Prost

Big Laugh

26.11.2009, 17:49

tmo

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RE: integral x^2 * sqrt(1-x^2)
Nur so nebenbei:

Das hier

Zitat:

Original von gonnabmd

dachte evtl. an etwas wie:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^2\cdot(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}~dx \end{eqnarray*}$

hätte relativ schnell zum Ziel geführt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Idee war gut. Schade, dass sie nicht weiter verfolgt wurde.

26.11.2009, 17:54

gonnabphd

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oh nein, erzähl mir mal wie's mit dieser idee gegangen wäre, denn der sin^4(x) term hat so seine Schattenseiten...

er führt nämlich zu

$\begin{eqnarray*} ... + \int~sin^2(x)\cdot cos^2(x)~dx \end{eqnarray*}$

und das war ja gerade das Augangsintegral! unglücklich

unglücklich

26.11.2009, 17:57

tmo

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IfindU erzählt dir jetzt erstmal wie man sin^4(x) integrieren kann.

Wenn das dann durch ist und du am Ende noch Interesse daran hast, wie der andere Weg funktioniert hätte, kommen wir gerne nochmal drauf zurück.
Aber im Moment ist das IfinU's Thread.

26.11.2009, 18:04

IfindU

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Ich geb ihn gern an dir ab - habe nämlich das Gefühl das artet in Folter aus wenn eine kurze Lösung in Sicht ist.

Planänderung: Hab tmos Lösung bekommen, da er leider weg muss.

So, die Idee war das partiell zu integrieren:
$\begin{eqnarray*} \int x(1-x^2) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx \end{eqnarray*}$

wobei man die Stammfunktion durch z.b. Substitution leicht ermitteln kann.

27.11.2009, 12:47

gonnabphd

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Guten Tag,

Setz mich mal wieder an die Arbeit *lol*; das Integral werd ich wohl noch schaffen!

Bisher hab ich (mit der sin(u):=x Methode)

$\begin{eqnarray*} \int~x^2\sqrt{1-x^2}~dx=\int~sin^2(u)\cdot (1-sin^2(u))~du=\int~sin^2(u)~du-\int~sin^4(u)~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~sin^2(x)~dx = \frac{x-sin(x) \cdot cos(x)}{2}=\frac{x-sin(x) \cdot \sqrt{1-sin^2(x)}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~sin^4(x)~dx = (\frac{x-sin(x) \cdot cos(x)}{2}) \cdot sin^2(x) - \int~(2\cdot sin(x)\cdot cos(x)) \cdot \frac{x-sin(x) \cdot cos(x)}{2}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{x-sin(x) \cdot cos(x)}{2} \cdot sin^2(x) - \int~x\cdot sin(2x)~dx + \int sin^2(x)\cdot (1-sin^2(x))~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{x-sin(x) \cdot cos(x)}{2} \cdot sin^2(x) - (\frac{-cos(2x)\cdot x}{2} +\frac{sin(2x)}{4}) + \frac{x-sin(x) \cdot cos(x)}{2} -\int~sin^4(x)~dx \end{eqnarray*}$

also (mit cos(2x)= 1 - 2*sin^2(x) und dem trigonometrischen Pythagoras)

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \int~sin^4(x)~dx = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x-sin(x) \cdot \sqrt{1-sin^2(x)}}{2} \cdot sin^2(x) + (\frac{(1-2\cdot sin^2(x))\cdot x}{2} -\frac{2\cdot sin(x) \cdot \sqrt{1-sin^2(x)}}{4}) + \frac{x-sin(x) \cdot \sqrt{1-sin^2(x)}}{2} \end{eqnarray*}$

also ist mit u=arcsin(x)

$\begin{eqnarray*} \int~sin^2(u)~du-\int~sin^4(u)~du =\frac{arcsin(x)-x \cdot \sqrt{1-x^2}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - (\frac{arcsin(x)-x \cdot \sqrt{1-x^2}}{4} \cdot x^2 + (\frac{(1-2\cdot x^2)\cdot arcsin(x)}{4} -\frac{2\cdot x \cdot \sqrt{1-x^2}}{8}) + \frac{arcsin(x)-x \cdot \sqrt{1-x^2}}{4}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{arcsin(x)\cdot x^2}{2}+x\cdot \sqrt{1-x^2}\cdot(-\frac{1}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{arcsin(x)\cdot x^2}{2}+\frac{x^3\cdot \sqrt{1-x^2}}{4} \end{eqnarray*}$

... ich glaub das ganze war nicht wirklich fehlerfrei... Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

27.11.2009, 13:50

gonnabphd

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puh, nach einer Mittagspause die Erlösung:

$\begin{eqnarray*} \int x(1-x^2) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{arcsin(x)}{8}+\frac{x\cdot\sqrt{1-x^2}(2x^2-1)}{8} \end{eqnarray*}$

und das alles auf vier Zeilen Big Laugh

Big Laugh

.

Naja, der Ausflug ins Reich der Sinus und Cosinus hat mir dennoch was gebracht... Wüsste aber wirklich gerne, warum das nicht auch funktioniert hat bzw. wo ich da Fehler gemacht habe.

27.11.2009, 14:01

tmo

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Freude

Übrigens:

$\begin{eqnarray*} \int \sin^4 x ~dx=\int \sin x \sin^3 x~ dx = -\cos x \sin^3x - \int -\cos x \cdot 3 \sin^2x \cos x~ dx = -\cos x \sin^3x + \int \cos^2 x \cdot 3 \sin^2x ~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\cos x \sin^3x + \int (1-\sin^2 x) 3 \sin^2x ~dx=-\cos x \sin^3x + \int 3 \sin^2x ~dx - \int 3 \sin^4 x ~ dx \end{eqnarray*}$ ,

also:

$\begin{eqnarray*} 4 \int \sin^4 x ~dx = -\cos x \sin^3x + \int 3 \sin^2x ~dx \end{eqnarray*}$

27.11.2009, 14:14

gonnabphd

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jo... so gehts natürlich auch smile

smile

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