Beweis Entwicklungssatz mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols

26.11.2009, 19:28	Capo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Entwicklungssatz mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols Hallo Leute, habe eine Frage, die euch wahrscheinlich eher trivial vorkommen mag: Ich bin auf einen Beweis für den Entwicklungssatz für das Vektordreifachprodukt gestoßen, dessen Schritte ich leider nicht nachvollziehen kann.Ich schreibe euch einfach mal den 1. Teil, sodass wir das langsam durchexerzieren können: $\begin{eqnarray} \vec{a}\times \vec{b}\times \vec{c}= \vec{a} \times(\sum_{ijk}~\in_{ijk} b_i c_j e_k) = (\sum_{ijk}~\in_{ijk} b_i c_j)(\sum_{lmn}~\in_{lmn} a_l \delta_{mk}e_n) \end{eqnarray}$ Die Umformung ab dem 2." = " ist mir leider vollkommen unverständlich.... Ich bitte um eueren Rat Gruß Capo
27.11.2009, 10:46	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir wollen das doppelte Vektorprodukt $\begin{eqnarray} \vec a \times (\vec b \times \vec c) \end{eqnarray}$ mit dem Levi-Civita-Tensor ausdrücken. Zunächst drücken wir das normale Vektorprodukt damit aus, also $\begin{eqnarray} \vec b \times \vec c=\sum_{j,k=1}^3~\epsilon_{ijk}b_j c_k \end{eqnarray}$ Ich reche der Einfachheit halber bezüglich der natürlichen Basis $\begin{eqnarray} \vec {e}_1=(1\|0\|0), \vec {e}_2=(0\|1\|0), \vec {e}_3=(0\|0\|1) \end{eqnarray}$ . Dort sind die Vektorkomponeneten formal identisch mit den Koordinaten. Das doppelte Vektorprodukt lautet also $\begin{eqnarray} \vec a \times (\vec b \times \vec c)=\sum_{h,i=1}^3~\epsilon_{ghi}a_h\sum_{j,k=1}^3~\epsilon_{ijk}b_j c_k =\sum_{h,i=1}^3~\sum_{j,k=1}^3~\epsilon_{ghi}\epsilon_{ijk}a_hb_jc_k \end{eqnarray}$ Wir summieren darin zunächst über den Index i, der in beiden Levi-Civita-Symbolen vorkommt. $\begin{eqnarray} \sum_{h,i=1}^3~\sum_{j,k=1}^3~\epsilon_{ghi}\epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ Nun benutzen wir die Tatsache, dass man Levi-Civita-Symbole mittels Determinanten von Kronecker-Symbolen wie folgt darstellen kann $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{1i} & \delta_{1i} \\ \delta_{1i} & \delta_{1i} & \delta_{1i} \\ \delta_{1i} & \delta_{1i} & \delta_{1i} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Mache Dir den Sinn dieser Formel klar! Also ist das Produkt zweier Levi-Civita-Symbole mit Summation über i $\begin{eqnarray} \epsilon_{ghi}\epsilon_{ijk}=\sum_{i=1}^3~\begin{vmatrix} \delta_{1g} & \delta_{2g} & \delta_{3g} \\ \delta_{1h} & \delta_{2h} & \delta_{3h} \\ \delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k} \\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Bekanntlich ist das Produkt der Determinanten zweiere Matrizen gleich der Determinate des Matrizenproduktes. Wir multiplizieren also beide Matrizen $\begin{eqnarray} \epsilon_{ghi}\epsilon_{ijk}=\sum_{i=1}^3~ \begin{vmatrix} \delta_{1g}\delta_{1i}+\delta_{2g}\delta_{2i}+\delta_{3g}\delta_{3i} & \delta_{1g}\delta_{1j}+\delta_{2g}\delta_{2j}+\delta_{3g}\delta_{3j} & \delta_{1g}\delta_{1k}+\delta_{2g}\delta_{2k}+\delta_{3g}\delta_{3k} \\ \delta_{1h}\delta_{1i}+\delta_{2h}\delta_{2i}+\delta_{3h}\delta_{3i} & \delta_{1h}\delta_{1j}+\delta_{2h}\delta_{2j}+\delta_{3h}\delta_{3j} & \delta_{1h}\delta_{1k}+\delta_{2h}\delta_{2k}+\delta_{3h}\delta_{3k}\\ \delta_{1i}\delta_{1i}+\delta_{2i}\delta_{2i}+\delta_{3i}\delta_{3i} & \delta_{1i}\delta_{1j}+\delta_{2i}\delta_{2j}+\delta_{3i}\delta_{3j} & \delta_{1i}\delta_{1k}+\delta_{2i}\delta_{2k}+\delta_{3i}\delta_{3k} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \delta_{gi} & \delta_{gj} & \delta_{gk} \\ \delta_{hi} & \delta_{hj} & \delta_{hk} \\ 3 & \delta_{ij} & \delta_{ik} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Wir entwickeln die Determinante nach der letzten Zeile gemäß dem Laplaceschen Entwicklungssatz $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \delta_{gi} & \delta_{gj} & \delta_{gk} \\ \delta_{hi} & \delta_{hj} & \delta_{hk} \\ 3 & \delta_{ij} & \delta_{ik} \end{vmatrix}=3\begin{vmatrix} \delta_{gj} & \delta_{gk} \\ \delta_{hj} & \delta_{hk} \end{vmatrix}- \delta_{ij}\begin{vmatrix} \delta_{gi} & \delta_{gk} \\ \delta_{hi} & \delta_{hk} \end{vmatrix}+\delta_{ik}\begin{vmatrix} \delta_{gi} & \delta_{gj} \\ \delta_{hi} & \delta_{hj} \end{vmatrix}=3\begin{vmatrix} \delta_{gj} & \delta_{gk} \\ \delta_{hj} & \delta_{hk} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} \delta_{gj} & \delta_{gk} \\ \delta_{hj} & \delta_{hk} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \delta_{gk} & \delta_{gj} \\ \delta_{hk} & \delta_{hj} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \delta_{gj} & \delta_{gk} \\ \delta_{hj} & \delta_{hk} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Dies setzen wir in die obige Doppelsumme ein,wobei nun nur noch über h,j,k zu summieren ist, weil die Summation über i bereits ausgeführt wurde $\begin{eqnarray} \vec a \times (\vec b \times \vec c)=\sum_{h,j,k=1}^3~\begin{vmatrix} \delta_{gj} & \delta_{gk} \\ \delta_{hj} & \delta_{hk} \end{vmatrix}a_hb_jc_k \end{eqnarray}$ Wir führen die Summation über h und j aus, indem wir $\begin{eqnarray} a_h, b_j \end{eqnarray}$ nach den allgemein en Regeln in die Determinante hineinmultiplizieren, also $\begin{eqnarray} \vec a \times (\vec b \times \vec c)=\sum_{j,k=1}^3~\begin{vmatrix} \delta_{gj} & \delta_{gk} \\ a_j & a_k \end{vmatrix}b_jc_k=\sum_{k=1}^3\begin{vmatrix} b_g & \delta_{gk} \\ \vec{a}\vec{b} & a_k \end{vmatrix}c_k=\begin{vmatrix} b_g & c_g \\ \vec{a}\vec{b} & \vec{a}\vec{c} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist genau die Bekannte "bac-cab-Regel". Setze also nacheinander den Index g=1,2,3 und du bekommst die 3 Komponeneten des doppelten Vektorproduktes $\begin{eqnarray} \vec a \times (\vec b \times \vec c) \end{eqnarray}$
27.11.2009, 17:26	Capo	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal vielen Dank für die Mühe und die Zeit, die du mir geopfert hast, ich weiß das sehr zu schätzen. Allerdings hätte ich noch ein paar Fragen zu deiner Erklärung: 1. Du lässt gleich zu Anfang an der Stelle: $\begin{eqnarray} \vec b \times \vec c=\sum_{j,k=1}^3~\epsilon_{ijk}b_j c_k \end{eqnarray}$ das i weg, warum ist dies erlaubt? 2. Weiterhin ist mir dieser Schritt auch unverständlich: $\begin{eqnarray} \vec a \times (\vec b \times \vec c)=\sum_{h,i=1}^3~\epsilon_{ghi}a_h\sum_{j,k=1}^3~\epsilon_{ijk}b_j c_k=\sum_{h,i=1}^3~\sum_{j,k=1}^3~\epsilon_{ghi}\epsilon_{ijk}a_hb_jc_k \end{eqnarray}$ Warum darf man das Vektorprodukt einfach so schreiben? 3. $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{1i} & \delta_{1i} \\ \delta_{1i} &\delta_{1i} &\delta_{1i} \\ \delta_{1i} & \delta_{1i} & \delta_{1i} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Ist doch ein Tippfehler, oder? Ich hoffe du kannst mir auch dies beantworten und verzeihst mir meine Unwissenheit.
30.11.2009, 13:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Frage 1: ---------------- Das Sumbol $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ ist im 3D-Raum wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} \epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon_{213}=\epsilon_{321}=\epsilon_{312}=-1 \end{eqnarray}$ sonst =0 Allgemein gilt also: Wenn die Indizes i,j,k durch eine gerade Anzahl von Paarvertauschungen aus der natürlichen Reihenfolge 1,2,3 hervorgehen, dann wird $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=+1 \end{eqnarray}$ . Ist dagegen eine ungeraden Anzahl von Paarvertauschungen nötig, wird $\begin{eqnarray} \epsilon=-1 \end{eqnarray}$ . Wenn zwei oder mehr Indizes doppelt auftauchen, wird $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=0 \end{eqnarray}$ , z.B. $\begin{eqnarray} \epsilon_{323}=0 \end{eqnarray}$ . Das Vektorprodukt ist somit $\begin{eqnarray} \vec{b} \times \vec{c}=\begin{pmatrix}(\vec{a}\times \vec{b})_1 \\ (\vec{a}\times \vec{b})_2 \\ (\vec{a}\times \vec{b})_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sum_{jk=1}^3~\epsilon_{1jk}b_jc_k \\ \sum_{jk=1}^3~\epsilon_{2jk}b_jc_k \\ \sum_{j,k=1}^3~\epsilon_{3jk}b_jc_k \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \epsilon_{123}b_2c_3+\epsilon_{132}b_3c_2 \\ \epsilon_{231}b_3c_1+\epsilon_{213}b_1c_3 \\ \epsilon_{312}b_1c_2+\epsilon_{321}b_2c_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_2c_3-b_3c_2 \\ b_3c_1-b_1c_3 \\ b_1c_2-b_2c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das i taucht nicht in der Summe auf, sondern ist ein freier Index. Man kann setzen i=1 oder i=2 oder i=3 und erhält dann jeweils die i-te Komponente des Vektorproduktes, also $\begin{eqnarray} (\vec{b} \times \vec{c})_1 \end{eqnarray}$ =1.Komponente usw. Frage 2: ------------ Das entspricht einfach dem Produkt zweier Summen, die man anschließend ausmultipliziert. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray} (a_1+a_2+a_3)\cdot (b_1+b_2+b_3)=a_1b_1+a_1b_2+a_1b_3+a_2b_1+a_2b_2+a_2 b_3+a_3b_1+a_3b_2+a_3b_3 \end{eqnarray}$ In der Schreibweise mit Summenzeichen bedeutet dies, dass man das Produkt zweier Summen auf eine einzige Doppelsumme zurückführt, also $\begin{eqnarray} \left(\sum_{i=1}^3~a_i \right)\left(\sum_{j=1}^3~b_j \right)=\sum_{i,j=1}^3~a_ib_j \end{eqnarray}$ In der letzten Summe durchlaufen die Indizes i,j alle möglichen Varainten (=Doppelsumme). Analog funktioniert das für n-fache Produkte von Summen. Frage 3: ----------- Sorry, das war tatsächlich ein Tippfehler. Es muss heißen: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_{1i} & \delta_{2i} & \delta_{3i} \\ \delta_{1j} & \delta_{2j} & \delta_{3j} \\ \delta_{1k} & \delta_{2k} & \delta_{3k} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Wie bei Determinanten üblich kann man diese auch an der Hauptiagonalen spiegeln, ohne das sich der Wert ändert. Diese Art der Darstellung des Levi-Civita-Tensors mittels Determinanten von Kroneckersymbolen scheint auf den ersten Blick etwas kompliziert und deshalb unmotiviert. Bei komplizierten Rechnungen, wo Proidukte von Levi-Civita-Symbolen mit vielen Indizes auftauschen, ist diese Darstellung aber sehr nützlich, weil man anderenfalls den Überblick verlieren würde.
05.11.2016, 15:03	Sandoron	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, dass dieser Beitrag schon 7 Jahre alt ist, aber ich dachte, dass ich vielleicht dennoch Hilfe bekomme. Warum wird unter dem Summenzeichen j,k=1 geschrieben? Das würde doch dazu führen, dass in der Summe 0 steht, da wir somit j=k setzen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »