Kugel_Fächer Modell ROULETTE

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7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel_Fächer Modell ROULETTE
hallo zusammen,

folgende Aufgabe bereitet mir gerade Kopfschmerzen:

Beim Roulettespiel bleibt die Kugel auf einem der 37 Felder stehen. Wir betrachten 50 Spielrunden

Frage: Auf wie vielen Feldern wird die Kugel nach 50 Spielen mindestens einmal stehen geblieben sein?

Diese Aufgabe tauchte im Zusammenhang mit dem Kugel-Fächer Modell auf und soll sich auf ein n-stufiges Bernoulli Experiment beziehen ???



Vielen DANK
Marvin42 Auf diesen Beitrag antworten »

mind. auf einem
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bezogen auf die Aufgabenstellung ist Marvins Antwort natürlich völlig korrekt. Da die Aufgabe hier in der Stochastik gestellt wurde, war vermutlich aber eher folgendes gemeint:

Zitat:
Frage: Auf wie vielen Feldern wird die Kugel nach 50 Spielen erwartungsgemäß (bzw. "im Mittel") mindestens einmal stehen geblieben sein?

Die Anzahl dieser Felder ist nämlich eine Zufallsgröße, die Werte von 1 bis 37 annehmen kann. Gesucht ist hier also der Erwartungswert dieser Zufallsgröße.
7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, also der Erwartungswert und da das ganze auf einem Bernoulli-Versuch basiert, darf ich die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes bei einer binomialen Verteilung benutzen ?

also ???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so geht's nicht. Wenn die Anzahl der Nummern ist, die mindestens einmal auftauchen, dann ist , wobei



sein soll. Dann ist einfach

,

letzteres, weil alle 37 Nummern gleichberechtigt in ihrem Auftreten sind. Und über kommst du dann an das Ergebnis, denn ist die Bernoulliexperiment-Wahrscheinlichkeit für Null Erfolge (Erfolg hier ist Auftreten von Nummer 0) bei 50 Versuchen...
7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nciht genau. ob ich jetzt die richitge Schlussfolgerung gezogen hab:

???
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal: ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 Versuchen keinmal die Nummer 0 auftaucht Diese Wahrscheinlichkeit ist nicht gleich Null, sondern ... ?
7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »

^(50)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Freude
7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »

omg, das war wieder so eine schwere geburt, wenn das bei jede aufgabe so sein sollte. ahh ^^

nur um sicher zu gehen da kommt jetzt für E(N)=27,6 raus ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt.

Dass dein erster Versuch 50/37 nicht stimmt, hättest du durch eine leichte Kontrolle selbst merken können: Wenn du statt 50 sagen wir mal 3700 (oder sogar noch mehr) Versuche gemacht hättest, dann wäre deine Antwort entsprechend 3700/37=100 gewesen, also 100 von 37 Zahlen tauchen mehr als einmal auf ... absurd! Solche Selbstkontrollen vermisse ich leider sehr oft bei den Leuten, d.h., auch wenn man nicht genau weiß, wie es richtig geht, kann man doch merken, dass der eigene Ansatz falsch sein muss! Aber das nur nebenbei...
7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist einfach ich kann nicht so wirklich "stochastisch" denken, ich bin 12 Jahre lang mit anderen mathematischen Themen belehrt worden, da habe ich ein Gespühr für + Interesse und kann so "Selbstkontrollen" durchführen. Aber bei der Stochastik ist das irgendwie anders. Wink

Vielen Dank nochmal
7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine ergänzende Frage hätte ich noch: Was passiert, wenn gefragt würde, auf wie vielem Feldern die Kugel min. 2-mal (n-mal) liegen geblieben ist ?

Wäre es dann noch ein Bernoullie-Experient? Ich frage nur, weil es ja dann die Ausgänge gebe: kein mal, 1-mal oder min 2-mal ? Wenn ja, wie müsste die Zufallsgröße dann definiert werden ? Gebe es dann eine Fallunterscheidung für 3 Fälle oder würde man die ersten zwei Ausgänge (kein mal und 1-mal) als einen Fall zusammenfassen ?


Wäre das dann vielleicht denkbar ?

ist die Anzahl der Nummern, die mindestens zweinmal auftauchen, dann ist , wobei


wäre.



und für die restlichen Schritte würde einfach das gelten, wie bei der letzten Aufgabe mit dem min. 1-mal liegen bleiben ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du hast die obige Lösung nicht vollständig verstanden. Die Rechenschritte von oben bleiben im wesentlichen dieselben, nur die Wahrscheinlichkeit ändert sich:

, wobei

.

Dann ist



genau wie oben, jetzt aber mit



gemäß den Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten für 0 bzw. 1 "Treffer" auf Nummer 0.
7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »

ist dann die Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass die Kugel kein mal oder max. 1-mal liegen bleibt ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

... keinmal oder einmal auf Nummer 0 liegen bleibt...

Na ja doch - so ist die Zufallsgröße schließlich definiert!!!
7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Ja, ich glaube ich habe dieses Schritt noch nicht wirklich nachvollziehen können. Der Erwartungwert ist gleich der Wahrscheinlichkeit ? Warum kann man das so definieren?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine Definition, sondern zwangsläufig: Wie berechnet man denn den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße?
7xx7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Summe aller Zufallsgrößen mal der jeweils dazu gehörenden Wahrscheinlichkeit
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Merkwürdige Formulierung. unglücklich

Vielleicht meinst du die Summe aller in Frage kommenden Werte für die Zufallsgröße, jeweils multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit für diesen Wert, also



Und bei solchen 0-1-Zufallsgrößen wie hier unseren gilt dann einfach



Also nix mit Definition, sondern einfache Folgerung!
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