reelle Polynome als UVR

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pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »
reelle Polynome als UVR
Hallo,
wir haben eine Aufgabe bekommen. Die lautet wie folgt:
[attach]12272[/attach]

Wie ich ein UVR beweise ist mir klar, aber ich weiß gar nicht, welchen UVR ich beweisen soll. Sprich, wie sieht der UVR dieser Funktion aus. Das liegt natürlich daran, dass ich gar nicht weiß, wie der reelle Raum für diese Funktion aussieht. Ist das ?

Wie genau liese sich das in dem Fall dann machen. Könntet ihr mir bitte irgendeinen Tipp geben, da ich aktuell total auf dem Schlauch stehe, WAS ich nachweisen soll.


Der andere Teil, den ich nicht verstehe, ist weiter unten: "Zeigen sie ferner, dass die Differenziation ein Endomorphismus auf diesen UVR ist. Wie würde dass dann gehen? Abbildungsmatrix und so weiter bestimmen, wäre dann kein Problem mehr, aber bei den beiden Teilaufgaben.

Würde mich sehr um Ratschläge und Tipps freuen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reelle Polynome als UVR
1. Boardsuche

2. Der VR ist doch angegeben. Seine Vektoren sind Polynome. Die zu untersuchende Menge sind die bis zum Grad 4

3. Das mit dem Ableiten war hier auch schon dran.
Betzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey pizzaschachtel, hast du mittlerweile was rausbekommen? Bin auch noch am Suchen der Lösung!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Relle Polynome höchstens 4. Grades kann man als Funktionen auffassen. Zum Nachweis, dass sie einen UVR des VR aller Funktionen bilden, kann man das UVR-Kriterium benutzen.
2. ist genau dann linear, wenn
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst einmal für eure ganz fleißigen Antworten.

Sofern verstehe ich die Aufgabe nun, habe ein gerade ein Problem beim Nachweis vom UVR.

Ich bin gerade so weit: 2. Axiom:


folgt

Folgt:

Jetzt habe ich die Therme alle einfach per Zahlendreieck ausmultipliziert und stehe nun vor einem ewig langen Therm, bei dem ich nicht weiß, wie man weiter machen muss um zu beweisen, dass diese Elemente in M liegen.
Könntet ihr mir da bitte noch nen kleinen Tipp geben, wie ich weiter verfahre?
Betzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm dir doch ein p(x) aus M und ein q(x) aus M. Addiere die und bastel dran rum. Dann siehst du was mit den Koeffizienten geschieht.

So weit bin ich nun.

Wie hast du das mit dem Nullvektor bewiesen.

Hab da für p(0) ist Nullvektor enthalten, wenn a0 = 0. Bei dir?
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Betzi
Nimm dir doch ein p(x) aus M und ein q(x) aus M. Addiere die und bastel dran rum. Dann siehst du was mit den Koeffizienten geschieht.


... und dann mal nicht vergessen, dass man noch die Abgeschlossenheit der Multiplikation zeigen muss. Augenzwinkern
@pizzaschachtel: Da du von Axiomen redest - du arbeitest hoffentlich mit dem o.g. UVR-Kriterium? Jedes Axiom für VR nachzuweisen wäre doch sehr mühsam.


Zitat:
Hab da für p(0) ist Nullvektor enthalten, wenn a0 = 0. Bei dir?


Warum willst du einen Nullvektor bestimmen?
Aber seis drum - der Nullvektor ist banal einfach kurz gesagt p(x)=0. Wichtig ist, dass es um die Menge der Polynome vom Grad kleiner(!) oder gleich vier - bei denen vom Grad exakt vier gäbe es Probleme.

air
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

@Betzi, wie meinst du das? Ich kann doch nicht einfach was aus p(x) und ein q(x) nehmen. Ich muss das doch allgemein machen.

Wenn ich das allgemein machen würde,
dann käme ich auf und da würde auch nie rauskommen.
Wie meinst du das also?

Beim 1. Axiom habe ich für alle x 0 eingesetzt und komme am Ende auf
ist aber eine reelle, so dass diese in der Menge liegt und die Menge nicht leer ist.

Ja, ich meine natürlich das UVR-Kriterium
Betzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Airblader: Er wollte ja erstmal wegen der Abgeschlossenheit von Addition bescheid wissen.

@pizza

Man sieht ja dann, dass die x' nicht verändert werden, nur die Koeffizienten. Die sind alle Element aus \mathbb R .
Also mit Multiplikation sind sie UVR.


Also wegen Nullvektor hatte ich nen Denkfehler. Kann ja nicht irgendein x wählen. Richtig wäre: Wenn a0 bis a4 gleich 0 sind, ist der Nullvektor enthalten.
pizzaschachtel Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, so kann man das natürlich auch machen geschockt

Danke erstmal.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Leute, ihr verwirrt mich hier. Ich komme jetzt gar nicht so ganz mit, wer hier was meinst. Seis drum. Eine Sache:

Zitat:
Also wegen Nullvektor hatte ich nen Denkfehler. Kann ja nicht irgendein x wählen. Richtig wäre: Wenn a0 bis a4 gleich 0 sind, ist der Nullvektor enthalten.


Ich weiß nicht, ob das nur schlecht formuliert ist, aber ich gehe davon aus. Ich möchte es mal so formulieren und du überlegst, ob du das meinst:

Das Polynom, bei dem a0 bis a4 jeweils Null sind, ist der Nullvektor (also 0 = 0*x^4 + 0*x^3 + 0*x^2 + 0*x + 0).

air
Betzi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das meine ich.

@Airblader: Hast du einen zündenden Tipp wie man das mit der Differenziation bzw. Abbildungsmatrix am Ende löst?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider nicht - soweit sind wir in unserer LAAG I - Vorlesung nicht Augenzwinkern

Aber schau doch mal auf wikipedia - das Beispiel behandelt gerade dieses Problem, nur mit einem etwas anderen UVR der Polynome. Augenzwinkern

air
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Leite doch mal ein Polynom ab? Was stellst du fest? Wie kann man die Potenzregel al s Matrix umsetzen? Tipp. Boardsuche erwähnte ich doch schon. Augenzwinkern
Betzi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, hab es die Nacht noch mithilfe der Suche hinbekommen. Die Matrix ist ja wirklich nicht schwer Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Eben. Postet ihr beide am Ende das Ergebnis, danke.
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