Schwierige Integration

27.11.2009, 19:26

123

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Schwierige Integration

Edit (mY+): Hilferersuchen in der Überschrift sind bitte zu unterlassen. Entfernt.

So habe hier das Integral von einer Differenzkurve und wollte wissen obs irgendwer lösen kann....ich kann das bis jetzt noch nicht und ich übertreibe nicht, wenn ich sage, dass es nicht einfach ist...

bitte mit verständlichem Lösungsweg

und hier ist die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~\frac{3x-3}{2x+2} ~dx \end{eqnarray*}$

hoffe, dass das jmd. kann bedanke mich shcon im Vorraus

MfG

27.11.2009, 19:59

MI

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RE: schwierige Integration, brauche da Hilfe

Zitat:

Original von 123
So habe hier das Integral von einer Differenzkurve und wollte wissen obs irgendwer lösen kann....ich kann das bis jetzt noch nicht und ich übertreibe nicht, wenn ich sage, dass es nicht einfach ist...

Du übertreibst nicht, wenn du sagst, dass es für DICH vielleicht nicht einfach ist. Eigentlich ist es nicht so schwierig, wenn man ein bisschen länger hinschaut Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ich gebe dir mal den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~\frac{3x-3}{2x+2} ~dx \end{eqnarray*}$
Wir formen den Integranden um:
$\begin{eqnarray*} &&\frac{3x-3}{2x+2}<br /> &&= \frac{3}{2} \cdot \frac{x-1}{x+1} <br /> &&= \frac{3}{2} \frac{x+1-2}{x+1}<br /> &&= \frac{3}{2} \frac{x+1}{x+1} - \frac{3}{2} \frac{2}{x+1} <br /> &&= \frac{3}{2} - 3\cdot \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$
So, und jetzt probiere es mal mit diesem Integranden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gruß
MI

28.11.2009, 06:57

Egal

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Raffiniert smile

smile

Ich würde da als alternative bei solcher Art Gleichung vorschlagen dem Term mit Polynomdivision zu Leibe zu rücken. Vorher eventuell noch wie von MI gemacht sinnvoll die Konstanten ausklammern.

28.11.2009, 19:12

zix

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Hi,

also das Ganze hat mir sehr weiter geholfen hab im Nachhinein noch hier im Forum ein Programm zum Integrieren gefunden.

aber ich habe herraus gefunden, dass die Formel der Differenzkurve wohl nicht richtig ist, die ich von nem Kumpel erhalten habe denn wenn ich das Integral von 0 bis 4 berechne kommt nicht das raus was soll, denn es soll 3,49 heraus kommen was man auch erhält, wenn man die Aufgabe mit Teilstücken löst.

ich schreib mal die Aufgabe, sodass ihr euch besser wetwas darunter vorstellen könnt:

g(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}x \end{eqnarray*}$ , f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{6}{2x+2} \end{eqnarray*}$ und x=4 schließen eine fläche mit der x- Achse ein.

das ganz würde ich in der regel so berechnen:

den schnittpunkt habe ich bereits im Vorraus berechnet er liegt bei x=1

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{3}{2}x ~dx + \int_{1}^{4}~\frac{6}{2x+2} ~dx \end{eqnarray*}$ = 3,49

so nun zu dem vorher besprochenem Teil:

in der Regel kann man eine solche Aufgabe per Differenzkurve lösen in dem man so vorgeht:

h(x)=f(x)-g(x)

h(x) ist dann die formel der differenzkurve, die man dann integrieren kann und dann setzt man das bestimmte Intefral von 0 bis 4 ein und erhällt das ergebnis, meine Vermutung ist, dass die Formel der Differenzkurve falsch ist, ich persönlich weiß aber nicht genau wie ich sie berechne, da in der einen funktion ein x in Nenner ist und ich damit nicht vernümpftig klar komme, die Lösung ist sicher wieder logisch man muss nur drauf kommen und das tu ich leider nicht.

gruß zix

oh hatte nen Fehler im oberen post f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{6}{2x+2} \end{eqnarray*}$

Edit by Egal: Doppelposts bitte vermeiden, Beiträge zusammengeführt, Fehler korrigiert

28.11.2009, 19:29

zix

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*TipEx*

28.11.2009, 20:26

Egal

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Also mal kurz auf die Kurve geguckt würd ich sagen du hast entweder bei der Funktion einen Fehler gemacht oder den Schnittpunkt falsch berechnet.

Davon abgesehen, kann man die Aufgabe so wie sie hier gestellt ist nicht mit einer Differenzkurve berechnen. Wenn du die Kurve jedoch gerne hättest, man kann auch Bruchterme geeignet erweitern und dann zusammenfassen.

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28.11.2009, 20:53

zix

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ok vielen dank, nur der schnittpunkt stimmt schon denn er ist bei (1|1,5) die im graph dargestellte gerade hat die funktin y=x, aber es ist gut zu wissen, dass man so eine Aufgabe nicht mit einer differenzkurve lösen sollte^^

aber mal ne frage, wenn man es hinbekommt die therme so um zo formen, dass man die Differenzkurve in der Theorie bilden würd, käme dann da das richtige Ergebnis heraus?

ach ja noch ne Frage wie kann ich posts zusammenfassen? denn als ich editieren wollte stand da, dass man nur 15 min nach dem post etwas ändern kann.

gruß zix

28.11.2009, 20:56

Alex-Peter

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RE: Schwierige Integration
Rauskommen muss:

1,171686 bzw. 2,33057 wenn man den negativen Anteil des Integrals von 0..1 positiv rechnet.

bzw: (3/2)*x -3*ln (1+x); für x nur die Grenze 4 einsetzen,
da dieser Ausdruck mit 0 auch 0 ist;

Ich gehe davon aus, dass deine untenstehende Lösung falsch ist !

28.11.2009, 21:00

zix

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naja wenn man das so rechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{3}{2} x~dx + \int_{1}^{4}~\frac{6}{2x+2} ~dx \end{eqnarray*}$

dann kommt 3,49 heraus, was auch nach dem Betracht der Zeichnung sehr realistisch erscheint.

28.11.2009, 21:12

Alex-Peter

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Deine Aufteilung unten von "ZIX" in die beiden Integrale dürfte falsch sein.
Wären sie richtig, dann würde die Summe der beiden Integrale zwar stimmen
dein Ergebnis habe ich auch raus, aber das stimmt nicht auf die Aufgabe.

Und meine nachstehende Lösung mit Berücksichtung des negativen Flächenanteils (als positiv) müsste damit stimmen.
.

28.11.2009, 21:28

zix

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doch das Ergebnis von 3,49 ist richtig, habs auch mal per Differenzkurve versucht, aber es klappt net siehe hier:

habe umgeformt und integriert....

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}x - \frac{6}{2x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{3x(x+1)}{2(x+1)} - \frac{6}{2x+2} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{3x^2 +3x}{2x+2} - \frac{6}{2x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{3x^2 +3x-6}{2x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{0}^{4}~\frac{3x^2 +3x-6}{2x+2}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{3x^2}{4} - 3ln(x+1)\right]_{0}^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 7,17 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 7,17 \neq 3,49 \end{eqnarray*}$

7,17 hatte ich auch schon mal raus bei einem anderen Rechenweg, ist aber durch logik auszuschließen und so muss ich festellen es ist nicht durch eine Differenzkurve zu lösen, jedenfals nicht für mich traurig

traurig

^^

und wie gesagt, das Ergebnis von3,49 ist laut Angaben richtig, wie auch schon gesagt es sieht sehr realistisch aus wenn man sich die fläche betrachtet.

28.11.2009, 21:49

Egal

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Also Differenzkurve geht nicht ich hab zwar bei der Zeichnung eine kleine Eigenart vergessen aber hier nochmal richtig und dann siehst du eventuell auch was bei der Differenzidee nicht klappt.

28.11.2009, 21:56

zix

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jop, zu 1 die kurve verläuft unter der x- achse und zudem steigt sie ein bissl arg hoch danach...

ich nehme an, dass man mit der differenzkurve einfach nur die fläche von 0 bis 1 da zieht man dann von g(x) die fläche von f(x) ab und hintendran ebenfals, du hattest recht, als du sagtest, dass es net geht, bei Differenzkurven berechnet man ja meistenz die Fläche zwichen 2 Kruven und nicht zwichen Kurve und x - Achse

naja dann vielen Dank, dass ihr mir geholfen habt, die Lösung zu dieser Aufgabe zu finden.

MfG zix

22.12.2009, 21:25

LoP

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Ich weiß es ich weiß es ^^.
Also ich habe mal mit GeoGebra Iterativ das Integral berechnet und mein Rechenweg führt exakt zu dem Ergebnis...

Also:

22.12.2009, 21:48

LoP

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Es tut mir Leid, ich habe wohl zu früh auf Antwort erstellen gedrückt...

Also:

Das Ergebnis müsste eigentlich lauten: 1.17 (Laut GeoGebra)

und war habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int_0^4 \! \frac{3x-3}{2x+2} \, dx = \frac{3}{2}( \int_0^4 \ \frac{x}{x+1} \, dx + \int_0^4 \ \frac{1}{x+1} \, dx) \end{eqnarray*}$

Dann substituiere ich $\begin{eqnarray*} u = x+1 \end{eqnarray*}$ womit folgt $\begin{eqnarray*} du = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}( \int_0^4 \ \frac{u-1}{u} \, du + \int_0^4 \ \frac{1}{u} \, du) \end{eqnarray*}$

Dann folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}( \int_0^4 \ 1 \, dx + \int_0^4 \ \frac{1}{u} \, du) =\frac{3}{2}*[x-2*ln(x+1)] \end{eqnarray*}$

Wenn wir jetzt die Grenzen einsetzen erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} \int_0^4 \! \frac{3x-3}{2x+2} \, dx = \frac{3}{2}*[4-2*ln(5)] = 1,1717... \end{eqnarray*}$

Sieht jemand einen Fehler in meinem Rechenweg?

mfg LoP

23.12.2009, 09:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von LoP
Sieht jemand einen Fehler in meinem Rechenweg?

Um es mit einen bekannten Witz auszudrücken:
Im Verkehrsfunk kommt die Nachricht: "Achtung, auf der A5 kommt Ihnen ein Geisterfahrer entgegen."
Sagt der Autofahrer zu sich: "Einer? Hunderte!!!"

Um mal die mathematische Geisterfahrt zu beenden:

Zitat:

Original von LoP
$\begin{eqnarray*} \int_0^4 \! \frac{3x-3}{2x+2} \, dx = \frac{3}{2}( \int_0^4 \ \frac{x}{x+1} \, dx + \int_0^4 \ \frac{1}{x+1} \, dx) \end{eqnarray*}$

Hier geht es schon los mit der falschen Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{3x-3}{2x+2} = \frac{3}{2}(\frac{x}{x+1} + \frac{1}{x+1}) \end{eqnarray*}$ .

Wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von LoP
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}( \int_0^4 \ \frac{u-1}{u} \, du + \int_0^4 \ \frac{1}{u} \, du) \end{eqnarray*}$

Hier hast du zwar schön substituiert, aber leider nicht die Grenzen angepaßt.

Zitat:

Original von LoP
Dann folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}( \int_0^4 \ 1 \, dx + \int_0^4 \ \frac{1}{u} \, du) \end{eqnarray*}$

Auf unerklärliche Weise wird aus $\begin{eqnarray*} \frac{u-1}{u} \end{eqnarray*}$ eine 1. Daß dann die 1 über x integriert wird, ist zwar formal unerheblich, aber dennoch bemerkenswert.

Zitat:

Original von LoP
Dann folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}( \int_0^4 \ 1 \, dx + \int_0^4 \ \frac{1}{u} \, du) =\frac{3}{2}*[x-2*ln(x+1)] \end{eqnarray*}$

Selbst wenn man u = x+1 rücksubstituiert, ist es mir schleierhaft, wie du auf diese Stammfunktion kommst.

23.12.2009, 10:13

Egal

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Das ist eine Integration mit Hilfe der Methode "iterativer Zielanpassung" unter Berücksichtigung der Methode "erwünschte Vereinfachung" und "gezielte Selbstmanipulation".

Diese Form des Lösungswegs wird besonders häufig beschritten wenn das gesuchte Ziel bereits aus anderer Quelle bekannt ist und nur noch der Lösungsweg erfunden werden muss.

23.12.2009, 10:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Egal
Das ist eine Integration mit Hilfe der Methode "iterativer Zielanpassung" unter Berücksichtigung der Methode "erwünschte Vereinfachung" und "gezielte Selbstmanipulation".

Ach, diese Methode kannte ich noch nicht. Big Laugh

Big Laugh

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