Fehler beim Basiswechsel

27.11.2009, 21:04

caca

Fehler beim Basiswechsel

Hallo zusammen,
ich habe hier eine Aufgabe, aber irgendwo mache ich einen Fehler, nur ich weiß nicht wo.
Gegeben sind die Basen:
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 17 \\ -25 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} B' = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 16 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} C = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} C' = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray*}$

Sowie eine lineare Abbildung mit der Matrix:
$\begin{eqnarray*} M^{C}_{B}(f)= \begin{pmatrix} 7 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray*}$
Also: $\begin{eqnarray*} f: R^3 \rightarrow R^2 (x_1,x_2,x_3) \mapsto (7x_1+5x_2+6x_3, 3x_1+2x_2-x_3) \\ \end{eqnarray*}$

Nun kann ich die Abbildungsmatrix bezüglich der Basen B' und C' auf 2 Wege berechnen:
$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\\ f \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\\ f \begin{pmatrix} 16 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 128 \\ 51 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} + 27 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray*}$

Damit wäre meine Abbildungsmatrix:
$\begin{eqnarray*} M^{C'}_{B'}(f)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 27 \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray*}$

So, nun möchte ich das gleiche Ergebnis mit dem Basiswechselsatz erhalten:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} = 7 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} S=M^{C'}_{C}= \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S^-1=M^{C}_{C'}= \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 3 & -7 \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray*}$

Das gleiche jetzt für B:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 17 \\ -25 \\ 1 \end{pmatrix} + 25 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} -1 \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 17 \\ -25 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} 0 \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 16 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 17 \\ -25 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} 1 \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} T=M^{B'}_{B}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 25 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray*}$

Aber folgende Matrix stimmt nicht mit der oben berechneten überein:
$\begin{eqnarray*} M^{C'}_{B'}(f)=S^-1\cdot M^{C}_{B}(f)\cdot T = \begin{pmatrix} 18 & 0 & -17 \\ 0 & 1 & 27 \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray*}$

Ich bin genauso vorgegangen wie im Skript, aber komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis. Es wäre nett wenn mir jemand sagen könnte wo mein Fehler liegt.

Mfg Caca

27.11.2009, 21:28

tigerbine

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RE: Fehler beim Basiswechsel
Wie kommst du auf den ersten Weg.... verwirrt

code:

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Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,25,-1]
Vektor 2: [0,1,0]
Vektor 3: [0,2,1]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [7,3]
Vektor 2: [5,2]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [7,5,6;3,2,-1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     0     0
    25     1     2
    -1     0     1
M1 =
     7     5     6
     3     2    -1
TI =
   -2.0000    5.0000
    3.0000   -7.0000
M2 =
   18.0000         0  -17.0000
   -0.0000    1.0000   27.0000

28.11.2009, 12:37

caca

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RE: Fehler beim Basiswechsel
Hallo,
also kann ich davon ausgehen, dass das zweite Ergebnis schonmal richtig ist? Beim ersten Weg habe ich die Bilder der Basisvektoren von B' berechnet und diese dann als Linearkombination der Basis C' dargestellt. Vermutlich darf man das so nicht machen? Auf welchen Weg berechne ich dann $\begin{eqnarray*} M^{C'}_{B'} \end{eqnarray*}$ ? Ich muss diese Matrix nämlich auch auf eine andere Weise als mit dem Basiswechselsatz berechnen, um diesen dann zu verifizieren.

Gruß Caca

28.11.2009, 13:34

tigerbine

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RE: Fehler beim Basiswechsel
Ich möchte den ersten Weg nicht kommentieren. Er ist falsch und warum siehst du, wenn du den zweiten Weg machst. Die Vektoren sind als Koordinatenvektoren zu verstehen. Wenn du (1) richtig machen willst, musst du genauso umrechnen, wie du es in (2) getan hast. Weg (1) stand aber nicht im Skript, oder?

Zitat:

Ich muss diese Matrix nämlich auch auf eine andere Weise als mit dem Basiswechselsatz berechnen, um diesen dann zu verifizieren.

Wie meinst du das?

28.11.2009, 13:44

caca

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Der erste Weg steht mit den Standartbasisvektoren so im Skript. Das Problem ist, dass es nie mit anderen Basen dort steht.
Wenn es keinen anderen Weg gibt, dann verstehe ich die Aufgabenstellung nicht.
Es sollen die zuerst in Aufgabenteil a) die Matrizen $\begin{eqnarray*} S:=M_{C'}^{C}(id_{R^2}), T:=M_{B'}^{B} (id_{R^3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{B'}^{C'}(f) \end{eqnarray*}$ berechnet werden.
Dann soll in Aufgabenteil b) die Gleichung $\begin{eqnarray*} M_{B'}^{C'}(f)=S^{-1} \cdot M_{B}^{C}(f) \cdot T \end{eqnarray*}$ verifiziert werden. Daher gehe ich davon aus, dass ich $\begin{eqnarray*} M_{B'}^{C'}(f) \end{eqnarray*}$ erst anders berechnen muss?

28.11.2009, 13:53

tigerbine

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Nein. In a) hast du die Bausteine berechnet. In b) sollst du vergleichen ob die $\begin{eqnarray*} M_{B'}^{C'}(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S^{-1} \cdot M_{B}^{C}(f) \cdot T \end{eqnarray*}$ identisch sind.

Wir haben doch mit nicht Standardbasen gerechnet. Das kostet den Schritt (siehe mein Programm), das man eben erst die Darstellung der Basis 2 Bzgl. der Basis 1 berechnen muss. Aber das hast du doch richtig gemacht.

28.11.2009, 14:04

caca

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So ganz verstehe ich das nicht. In a) habe ich doch die Matrix $\begin{eqnarray*} M_{B'}^{C'} \end{eqnarray*}$ genau mit dieser Formel berechnet. Wie soll ich sie dann in b) nocheinmal verifizieren?

28.11.2009, 14:10

tigerbine

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Stimmt, die umgekehrte Probe hätte mehr Sinn gemacht.

$\begin{eqnarray*} S \cdot M_{B'}^{C'}(f) T^{-1}=M_{B}^{C} \end{eqnarray*}$

Ich wüsste aber keinen anderen Weg, die Matrix zu berechnen.

28.11.2009, 14:13

caca

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Ok. Dann vielen Dank für deine Hilfe.

28.11.2009, 14:16

tigerbine

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Melde dich doch bitte nach Korrektur der Übung zurück. Dann können wir das "Rätsel" as gelöst auch im Board abhaken und ich lerne vielleicht noch einen neuen Weg kennen. Danke. Wink