gleichung einer hilfsebene

08.10.2006, 10:40

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

gleichung einer hilfsebene

Hi leute

also ich will den abstand zweier winschiefen geraden aursrechnenl, ich weiß, dass ich zuerst eine hilfsebene aufstellen muss.
aber wie komm ich auf ihre gleichung?

angenommen meine geragen sind:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 13 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie stell ich jetzt die hilfsebenengleichung auf??

ciao *chica*

08.10.2006, 11:06

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Interessant dafür ist eigentlich nur der Normalenvektor dieser Ebene.
Dieser ist gerade ein Vektor, der sowohl senkrecht zum Richtungsvektor der einen als auch senkrecht zum Richtungsvektor der anderen Geraden steht.

Also entweder du findest einen Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch ein Gleichungssystem mit Hilfe des Skalarprodukts (wann sind 2 Vektoren senkrecht zueinander ?)

Schneller geht das ganze durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Hast du davon schonmal gehört?

Gruß Björn

08.10.2006, 11:16

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

hi

nein traurig

traurig

, weder von skalarprodukt noch von kreuzprodukt! also gehört schon, aber noch nicht gelernt damit zu rechnen!

ciao *chica*

08.10.2006, 11:47

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte dir ja schonmal was von einer Lotbedingung geschrieben:

Zwei Vektoren sind genau dann senkrecht zueinander wenn ihr Skalarprodukt null ergibt.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren bildet man so:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}= a_1 \cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3 \end{eqnarray*}$

Versuche das doch mal auf die obige Situation zu übertragen, also zu fordern, dass ein Normalenvektor einmal senkrecht zu dem einen Richtungsvektor und auch senkrecht zu dem anderen Richtungsvektor steht.
Es sollten dadurch zwei Gleichungen entstehen.

Kriegst du das hin?

Gruß Björn

08.10.2006, 13:05

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also meine beiden gleichungen sind:

$\begin{eqnarray*} 1.) -3n_{1}+ n_{2}+ n_{3}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2.) n_{1}+ n_{2}-2 n_{3}=0 \end{eqnarray*}$

dann hab ich $\begin{eqnarray*} n_{3} \end{eqnarray*}$ eliminiert und für $\begin{eqnarray*} n_{2}= \frac{5}{3} n_{1} \end{eqnarray*}$ raus bekommen.

dann hab ich $\begin{eqnarray*} n_{2}= \frac{5}{3} n_{1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und für $\begin{eqnarray*} n_{1}=1 \end{eqnarray*}$ rausbekommen und dann auch eingesetzt und für $\begin{eqnarray*} n_{3}=\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ rausgekriegt!

stimmt das und wenn ja, wie gehts jetzt weiter??

ciao *chica*

08.10.2006, 13:18

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

dann hab ich $\begin{eqnarray*} n_{3} \end{eqnarray*}$ eliminiert und für $\begin{eqnarray*} n_{2}= \frac{5}{3} n_{1} \end{eqnarray*}$ raus bekommen.

Bis hierhin stimmts.

Zitat:

dann hab ich $\begin{eqnarray*} n_{2}= \frac{5}{3} n_{1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und für $\begin{eqnarray*} n_{1}=1 \end{eqnarray*}$ rausbekommen

Das ist nicht richtig, denn du musst n2 in die erste Gleichung einsetzen und nach n3 auflösen.

Du erhälst dadurch eine Gleichung für n3 in Anhängigkeit von n1.

Somit hast du eine Gleichung für n2 und eine für n3, beide in Abhängigkeit von n1.
Für n1 nimmst du einfach die Gleichung n1=n1 (kann man immer so machen)

So, nun schreib das doch mal alles untereinander und denke dir irgendeine Zahl aus (außer null), die du für n1 einsetzt und dann konkrete Zahlen für n1,n2 und n3 erhälst.

Am einfachsten ist es hier immer die 1 zu wählen oder eben eine Zahl die es schafft Brüche zu eliminieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hoffe das hilft dir weiter smile

smile

Gruß Björn

Anzeige

08.10.2006, 13:53

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

manno!!!!!!!!!!!!

ok

$\begin{eqnarray*} n_{3}=- \frac{4}{3} n_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3n_{1}+ \frac{5}{3}n_{1}- \frac{4}{3} n_{1}=0<br /> \frac{8}{3} n_{1}=0 \end{eqnarray*}$

und jetzt kann ich für $\begin{eqnarray*} n_{1} \end{eqnarray*}$ z.B. 3 wählen???

ciao *chica*

08.10.2006, 13:57

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, die gleichungen sollten ungefähr so aussehen!!

$\begin{eqnarray*} -3n_{1}+\frac{5}{3}n_{1}- \frac{4}{3} n_{1}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} n_{1}=0 \end{eqnarray*}$

ciao *chica*

08.10.2006, 14:01

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss $\begin{eqnarray*} n_3=+\frac{4}{3} \cdot n_1 \end{eqnarray*}$ heissen.

Dann brauchst du nichts mehr einsetzen sondern nur noch so hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} n_1=n_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_2=\frac{5}{3}n_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_3= \frac{4}{3}n_1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt wäre es in der Tat eine gute Idee für n1 die Zahl 3 zu wählen, da man ja dadurch die Brüche wegkriegt.

Wie lautet also der gesuchet Normalenvektor?

08.10.2006, 14:12

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

ja hm peinlich!!!

toll dann kommt bei mir 0=0 raus! ist das so gewollt oder schon wieder falsch???

ciao *chica*

08.10.2006, 14:15

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst nur noch in meine geposteten Gleichungen auf der rechten Seite für das n1 die Zahl 3 einsetzen.
Dadurch erhälst du eine Zahl für n1, eine für n2 und eine für n3.

Wie gesagt, dieses $\begin{eqnarray*} n_3=+\frac{4}{3} \cdot n_1 \end{eqnarray*}$ irgendwo einzusetzen bringt hier nix Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kriegst du es jetzt hin?

08.10.2006, 14:39

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

ah, dann hab ich jetzt den normalenvektor:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig???

konkret heißt das doch jetzt, das das der normalenvektor zu beiden geraden ist...
und für die ebene:
die beiden richtungsv. als spannv. und der normalenv. in die erst klammer...

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ja?

08.10.2006, 14:45

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, du brauchst die ganze Ebene eigentlich gar nicht bei der Abstandsberechnung deiner windschiefen Geraden. Dein Stützvektor in der Parameterform der Ebene ist übrigens auch falsch, denn das ist nicht einfach der Normalenvektor sondern der Ortsvektor zu irgendeinem Punkt dieser Ebene, sprich also auch irgendein Punkt der Geraden, da diese ja in der Ebene liegen. Einen Punkt der Geraden erhälst du einfach durch einsetzen einer Zahl für den Parameter in der Geradengleichung.

Dein Normalenvektor, welcher übrigens richtig ist, reicht aber vollkommen aus.

Oder mit welcher Abstandsformel willst du den Abstand ausrechnen?

08.10.2006, 15:09

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

schade!!

ah dann nehme ich den st.v. von der geraden die auf der ebene leige, dann brauch ich kein punkt auszurechnen!!
oda??

Zitat:

mit welcher Abstandsformel willst du den Abstand ausrechnen?

weiß nicht!! unglücklich

unglücklich

dachte ich kann dann einfach einen punkt von der parallelen geeraden nehmeh und dann weiter rechnen, wie bei der abstandberechnung von punkt zur ebene!!
so mit lotgerade und schnittpunkt und dann den abstand als vektor und dann dessen betrag berechnen...

umständlich... stimmts???
wie gehts schneller???

ciao *chica*

08.10.2006, 15:22

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht zwar noch schneller, aber dein Vorschlag ist durchaus ansprechend.
Falls du Mathe GK hast wird der andere Weg vielleicht auch gar nicht besprochen mit dieser speziellen Abstandsformel.

Kannst ja mal schreiben wie weit du kommst und deine Lösungen posten.
Dann können wir ja vergleichen wenn du magst.

Gruß Björn

08.10.2006, 15:41

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

ja mach ich, danke!!! smile

smile

ciao *chica*

08.10.2006, 16:19

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

hey ich hab grad ne formel gefungen, die scheint echt abkürzent zu sein, abba mir ist da noch einiges unklar!

man berechnet den betrag des normalenv. ok das bekomm ich noch hin:

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{n}\mid =5\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

so und jetzt meine frage, die mahen weiter mit einem $\begin{eqnarray*} \vec{n_{0}} \end{eqnarray*}$

was ist das für ein vektor??

und was die da gemacht haben:
ihr normalenv. ist:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so und der betrag ist 13 und dann haben sie $\begin{eqnarray*} \vec{n_{0}}= \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie kommen die auf die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{13} \end{eqnarray*}$

ciao *chica*

08.10.2006, 16:32

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

habs gefunden das ist ein einheitsv. und die beiden zusammen multi. =1!! richtig???

ciao *chica*

08.10.2006, 16:33

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ ist ein spezieller Normalenvektor, nämlich ein solcher, der die Länge 1 hat.
Man erhält diesen sogeannten normierten Normalenvektor, indem man den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ durch seine Länge, also $\begin{eqnarray*} |\vec{n}| \end{eqnarray*}$ dividiert.

Diese Abstandsformel meinte ich übrigens auch, da kommt dann dieser Vektor
$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ vor.

Hast aber jetzt einen anderen Normalenvektor genommen, als den, der zu deiner Aufgabe passt oder?

Gruß Björn

08.10.2006, 16:36

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab nur kurz deren aufgabe wiedergegeben, weil ich mir nicht sicher bin wie ich dass auf meine beziehe!
ich versuchs mal und dann schreib ich dir mein ergebniss falls ich soweit komme!!

ciao *chica*

08.10.2006, 16:56

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfe

also mein normierter normalenv. ist

$\begin{eqnarray*} \vec{n_{0} } =\frac{1}{2sqrt{5}} \ \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so und jtezt

08.10.2006, 17:03

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schonmal richtig.
Jetzt brauchst du noch irgendeinen Verbindungsvektor der beiden windschiefen Geraden, am besten den Verbindungsvektor, der die beiden Stützpunkte miteinander verbindet.

Damit hättest du eigentlich alle Angaben gegeben, welche du jetzt nur noch in die Formel einsetzen musst.

08.10.2006, 17:08

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

so

die gleichung d=... hab ich; ich weiß, dass ich hier die beiden stützv. der beiden geraden einsetzen muss, aber 1. warum gerade die?
2. ziehe ich den stützv.der parallelen geraden dem anderen stützv. ab oder anderstrum??oda egal?

wenn ich das weiß, dann denk ich hab ich es verstanden!!

danke ciao *chica*

08.10.2006, 17:15

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

aber 1. warum gerade die?

Das bietet sich halt an und ist am einfachsten smile

smile

Könntest dir auch andere Punkte der Geraden aussuchen, aber das würde ja nur unnötig Zeit kosten, diese noch zu berechnen.

Zitat:

2. ziehe ich den stützv.der parallelen geraden dem anderen stützv. ab oder anderstrum??oda egal?

Das ist egal, die Betragsstriche machen zur Not am Ende eh wieder alles positiv Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kannst ja mal sagen, was du rausbekommst.

08.10.2006, 17:27

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

so ich hab jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{48}{2\cdot \sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ raus!

ist das richtig und kann ich da noch kürzen auf \frac{24}{\sqrt{5} } ??

ciao *chica*

08.10.2006, 17:35

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Huch hatte mich vorhin verguckt, der Betrag vom Vektor n ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{50}= \sqrt{2\cdot 25} =5\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Und das kannste dann ruhig so stehen lassen smile

smile

Gruß Björn

08.10.2006, 17:42

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

juhu!!!!

Tanzen

hey danke!!!!!!!! ohne dich wäre ich jetzt echt aufgeschmissen!! muss nämlich di. die scheiß GFS halten traurig

traurig

also dann bis zu meinem nächsten problem!!!!!!!!

ciao *chica* Wink

Wink

08.10.2006, 18:12

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass du es geschafft hast.

Dann mal viel Erfolg Freude

Freude

06.11.2008, 12:59

question

Auf diesen Beitrag antworten »

hey leute..
ich probieren auch den Abstand zwischen 2 Windschiefen geraden auszurechnen. Ich bin jetzt soweit, dass ich auf den Normalvektor gekommen bin. Aber was mache ich jetzt?
Ich wäre sehr Dankbar für eine Antwort.
Lg.

06.11.2008, 23:34

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ziemlich ärgerlich, dass du dieselbe Frage neuerlich an dieses Thema angehängt hast. Sie musste deswegen schon einmal aus einem alten Thema abgetrennt werden. Glaubst du, uns so austricksen zu können? Da bist du aber schief gewickelt. Der Thread wird deswegen geschlossen. Mache das bitte nicht nochmal, sondern schreibe in den extra für dich eröffneten Thread

Kürzester Abstand zweier Geraden

mY+

Thema ***geschlossen***

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »