Vektorraum,basen

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29.11.2009, 11:58	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum,basen Halllo Ich weiß nicht wie ich folgende Aufgabe lösen soll: Es sei K ein Körper mit q Elementen. Weiter sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. a)Wieviele Elemente besitzt V? b)Wieviele verschiedene Basen von V gibt es? Wäre nett, wenn mir jemand da helfen könnte. LG estrella28
29.11.2009, 12:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
V ist isomorph zu K^n
29.11.2009, 12:15	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
das mit isomorph hatten wir noch gar nicht in der Vorlesung
29.11.2009, 12:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann nimm eine Basis von V . Jeder Vektor hat bezüglich der Basis eine eindeutige Darstellung mit Koeffizienten aus K.
29.11.2009, 12:25	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe überhaupt nicht wie ich bei a) auf die Anzahl der Elemente kommen soll, ich verstehe die Aufgabe noch nicht mal richtig glaube ich...
29.11.2009, 12:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du, was ein Körper mit q Elementen ist ?
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29.11.2009, 12:29	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß, was ein Körper ist, und der muss q Elemente haben oder? Also ist q die Anzahl der Elemente vom Körper oder?
29.11.2009, 12:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Wie sieht die Basisdarstellung eines Vektors aus ? (Jetzt ist Mittagspause - bis später)
29.11.2009, 12:31	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
das weiß ich nicht... ok bis später ,
29.11.2009, 12:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist b1,...,bn eine Basis von V, so hat jeder Vektor aus V eine eindeutige Basisdarstellung (x1,...,xn)=x1b1+...+xnbn mit Koordinaten aus K. Die möglichen Koordinaten-n-Tupel kannst du abzählen.
29.11.2009, 15:20	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
das verstehe ich immer noch nicht so ganz..., wie komme ich jetzt auf die Anzahl der Elemente?
29.11.2009, 17:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Anzahl der Vektoren in V bekommst du, indem du die möglichen Kombinationen von Koeffizienten in (x1,...,xn) abzählst. Beginne mit der ersten Komponente x1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, aus einem Körper mit q Elementen ein x1 auszuwählen ?
29.11.2009, 18:09	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
q-1 Möglichkeiten?
29.11.2009, 18:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
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29.11.2009, 18:18	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe keine ahnung....irgendwie stehe ich gerade auf dem schlauch
29.11.2009, 18:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt genau q Möglichkeiten, x1 aus K zu wählen. Es gibt genau q Möglichkeiten, x2 aus K zu wählen. ... Es gibt genau q Möglichkeiten, xn aus K zu wählen.
29.11.2009, 18:25	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
also q^n möglichkeiten oder?
29.11.2009, 18:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt $\begin{eqnarray} \|\mathbb V\|=q^n \end{eqnarray}$ Teil a) ist erledigt Übrigens gibt es zu jeder Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und jeder natürlichen Zahl $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ im wesentlichen ("bis auf Körperisomorphie") genau einen endlichen Körper $\begin{eqnarray} K=\mathbb F_q=\mathbb F_{p^k} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q=p^k \end{eqnarray}$ Elementen. Die "Vektorraumisomorphie", von der ich weiter oben sprach, ist im Wesentlichen die Darstellung von Vektoren als n-Tupel (x1,...,xn) .
29.11.2009, 18:37	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
und bei b? Ich muss ja aus q^n n Elemente heraussuchen, die linear unabhängig sind oder? Aber wie viele Möglichkeiten gibt es da denn?
29.11.2009, 18:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage habe ich befürchtet und ich gestehe ganz kleinlaut (((ich weiß es auch nicht))). Die Auswahl von n Vektoren aus q^n Vektoren ist auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} q^n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Arten möglich. Aber wie viele sind davon linear unabhängig ? Zu zwei Basen gibt es eine Basistransformation, die sich als reguläre nn- Matrix darstellen läßt, also als nichtsinguläre Matrix, also als Matrix mit Determinate ungleich 0. Es gibt $\begin{eqnarray} q^{(n^2)} \end{eqnarray}$ nn - Matrizen, also sicher weniger als $\begin{eqnarray} q^{(n^2)} \end{eqnarray}$ Basen. ""Was tun ?", sprach Zeus."
29.11.2009, 18:53	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das abzählen ist in diesem Sinne fast genauso einfach: Es gibt q^n-1 Vektoren die für sich genommen linear unabhängig sind. Dann gibt es ... Vektoren die zum vorigen l.u. sind etc.
29.11.2009, 19:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt steh' ich auf dem Schlauch.
29.11.2009, 19:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich fülle die ... noch aus, aber dann ist das Schema schon klar. Es gibt q^n-q Vektoren die zum vorigen linear unabhängig sind
29.11.2009, 19:19	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo @kiste das verstehe ich noch nicht so ganz.
30.11.2009, 07:38	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt hattest du sicherlich genug Zeit um nachzudenken. Was abgezogen wird ist immer die lineare Hülle der vorigen l.u. Vektoren. Die Größe dieser linearen Hülle hast du bereits ausgerechnet, denn die lineare Hülle ist ein k-dim Unterraum eines VR über einem Körper mit q Elementen wobei k die Anzahl der l.u. Vektoren bezeichnet von denen die Hülle gebildet wird.
30.11.2009, 21:01	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
verstehst du unter linearer Hülle einen Span? Wie kommt man auf q^n-1 und warum k?
01.12.2009, 11:42	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja lineare Hülle ist dasselbe wie Span. q^n-1 ist doch klar, alle Vektoren außer der Nullvektor. k habe ich ausreichend definiert, man könnte auch jeden anderen Bezeichner dafür wählen
01.12.2009, 22:05	estrella28	Auf diesen Beitrag antworten »
wie viele Basen gibt es dann?

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