Injektiv/Surjektiv zeigen?

29.11.2009, 19:56

eey

Injektiv/Surjektiv zeigen?

hallo alle zusammen,

hab ein mathematisches problem: und zwar soll ich zeigen dass die funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
in ihrem Definitionsbereich
$\begin{eqnarray*} D= [0;1] \end{eqnarray*}$
umkehrbar ist.

Dazu muss ich ja zeigen dass sie in ihrem Definitionsbereich bijektiv ist, oder?

naja, hab mir gedacht sie ist bijektiv weil:

1.) der definitionbereich positiv ist, sie also alle werte erreicht (surjektiv)
2.) sie als polynom 2ten grades stetig ist, also alle werte nur einmal erreicht (injektiv)

stimmt das?

und: wie kann ich das rechnerisch zeigen?

Danke schonmal,

eey

29.11.2009, 20:51

sergej88

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Zur injektivität reicht es nicht zu sagen sie ist stetig, denn aus der stetigkeit folgt die injektivität nicht.

Aber stetigkeit kann man hierbei trotzdem nutzen um zu sagen, dass die funktion surjektiv ist. Also zusammen mit dem Argument welches dir noch fehlt Augenzwinkern

mfg.

Als Tipp. wie Verhalten sich f(a) und f(b) wenn a < b

29.11.2009, 21:33

eey

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Zitat:

Original von sergej88
Zur injektivität reicht es nicht zu sagen sie ist stetig, denn aus der stetigkeit folgt die injektivität nicht.

Aber stetigkeit kann man hierbei trotzdem nutzen um zu sagen, dass die funktion surjektiv ist. Also zusammen mit dem Argument welches dir noch fehlt Augenzwinkern

mfg.

Als Tipp. wie Verhalten sich f(a) und f(b) wenn a < b

ja, wenn a<b ist auch f(a)<f(b) also streng monoton steigend

daraus folgt ja dann dass kein wert zweimal angenommen wird, richtig? Also ist die Funktion surjektiv.

aber wie zeig ich jetzt noch dass sie injektiv ist?

30.11.2009, 15:47

howdy

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Injektiv bedeutet ja, dass jedem Element aus dem Zielbereich höchstens ein Element aus dem Definitionsbereich zugeordnet wird. Daher kann also die Bildmenge kleiner der Zielmenge sein.
Also musst du zeigen, dass im Intervall [0,1] kein y mehr als einem x zugeordnet werden.

30.11.2009, 20:44

eey

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Zitat:

Original von howdy
Injektiv bedeutet ja, dass jedem Element aus dem Zielbereich höchstens ein Element aus dem Definitionsbereich zugeordnet wird. Daher kann also die Bildmenge kleiner der Zielmenge sein.
Also musst du zeigen, dass im Intervall [0,1] kein y mehr als einem x zugeordnet werden.

hä, ich dachte das hab ich grade gezeigt, weil die funktion streng monoton steigend ist, oder nicht?

03.12.2009, 11:00

eey

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Hallo, hab grade auf einer Internetseite einen Weg gefunden, mit dem man zeigen können soll ob eine funktion f injektiv/surjektiv ist:

Injektiv:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}f(x) > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall x \in ~\mathbb R \end{eqnarray*}$

Surjektiv:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}{f(x)}\rightarrow +\infty \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f(x)}\rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Weil dann ist es ja eigentlich sehr einfach Injektivität bzw. Surjektivität zu zeigen....

03.12.2009, 11:15

Mazze

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Was machst Du wenn eine Funktion nicht differenzierbar ist? Nicht differenzierbare Funktionen können sehr wohl auch injektiv sein. Was die Surjektivität angeht :

Betrachte

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x & \text{ falls } x \geq 1 \text{ oder } x \leq -1 \\ 0 & \text{ falls } -1 < x < 1\end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist natürlich

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}{f(x)}\rightarrow +\infty \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f(x)}\rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

aber die Funktion ist nicht Surjektiv, da alle Werte $\begin{eqnarray*} (-1,1) \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ kein Urbild besitzen.

Diese Kriterien kannst Du nicht immer anwenden. Das Kriterium für die Injektivität setzt voraus das die Funktion differenzierbar ist. Damit das Kriterium für die Surjektivität gilt, muss die Funktion zumindest überall auf R stetig sein. Es gibt zwar auch unstetige Funktionen, die Surjektiv sind und wo beide Grenzwerte genauso aussehen, aber ich hab dir ja schon ein Beispiel für eine unstetige Funktion gezeigt, bei der es nicht klappt.

04.12.2009, 07:53

eey

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hm ok, und was mache ich wenn eine funktion nicht überall differenzierbar ist? also zb
f(x) := abs(x)

?

aber wenn eine funktion stetig ist in ganz IR, kann ich das kriterium für surjektivität verwenden, oder?

04.12.2009, 14:57

Mazze

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Deine Beispielfunktion ist nicht injektiv. Und ganz allgemein solltest Du (fast) immer die Standardprozedur benutzen. Also annehmen das

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

ist, und dann zeigen dass $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ ist. Es gibt besondere Funktionen, wie etwa lineare Abbildungen, wo mans sich leichte rmachen kann, aber allgemein ist obiges der Weg.

Zitat:

aber wenn eine funktion stetig ist in ganz IR, kann ich das kriterium für surjektivität verwenden, oder?

Ja, das funktioniert. Du solltest diese Methode aber nur verwenden wenn ihr sie

a) kennt (sprich benutzen dürft) oder Du
b) sie beweisen kannst

04.12.2009, 15:24

eey

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Zitat:

Original von Mazze
Deine Beispielfunktion ist nicht injektiv. Und ganz allgemein solltest Du (fast) immer die Standardprozedur benutzen. Also annehmen das

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

ist, und dann zeigen dass $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ ist.

So eine Standartprozedur suche ich schon die ganze Zeit, aber WIE mache ich das genau? Also wie kann ich zeigen dass f(x)= f(y) und dann x=y?

Könntest du mir das bitte an einem ganz einfachen Beispiel erläutern, wäre super nett smile

04.12.2009, 18:31

Mazze

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Diese "Standardprozedur" ist einfach die Definition von injektiv. Eine Funktion f heisst injektiv, wenn immer aus $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$ folgt das auch $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ ist. Beispiel :

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \mapsto ax + b \text{ mit } a \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ich zeige dir dass diese Geraden injektiv sind. Sei dazu also

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$ wir setzen die Funktionsdefinition ein :

$\begin{eqnarray*} ax + b = ay + b \end{eqnarray*}$ wir ziehen von beiden Seiten b ab

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ax = ay \end{eqnarray*}$ wir teilen durch a

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$ und schon stehts da.

Damit ist f injektiv. Ein Beispiel einer nicht injektiven Funktion :

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \mapsto \sin(x) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \sin(\pi) = 0 = \sin(2\pi) \end{eqnarray*}$ ist f nicht injektiv. Wäre sie injektiv müsste aus f(x) = f(y) folgen das x = y gilt. Wir wissen aber das 2pi nicht gleich pi ist, trotzdem sind die Funktionswerte gleich. Daher ist f nicht injektiv.

04.12.2009, 20:06

eey

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ach so, so einfach ist das? geschockt

also wenn ich zum beispiel habe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

mit x aus IR:
dann folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=y^2 \end{eqnarray*}$

dann Wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} \pm x=\pm y \end{eqnarray*}$

woraus sofort folgt das f NICHT injektiv ist, da zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} -x=+y \end{eqnarray*}$

nur für die 0 erfüllt ist

richtig so?

04.12.2009, 20:39

Mazze

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Ja, wenn Du $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ betrachtest geht das so. Allerdings reicht dann auch ein Gegenbeispiel. Mathematische Aussagen kann man per Gegenbeispiel widerlegen. In diesem Fall hätte ich einfach gesagt :

Wegen $\begin{eqnarray*} f(-1) = (-1)^2 = 1 = 1^2 = f(1) \end{eqnarray*}$ ist f(x) = x² nicht injektiv, da $\begin{eqnarray*} -1 \neq 1 \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist die Funktion auf dem Definitionsbereich [0,1] widerum injektiv, da alle negativen Lösungen wegfallen. Der Definitionsbereich spielt eine entscheidende Rolle!

05.12.2009, 09:19

eey

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ok, also injektiv hab ich jetzt verstanden, in meinem ursprünglichen Beispiel wäre also die funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_f=[0;1] \end{eqnarray*}$

injektiv, da gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=y^2 \end{eqnarray*}$

Wurzel ziehen:

$\begin{eqnarray*} \pm x = \pm y \end{eqnarray*}$

und jetzt kann man das plus/minus streichen, weil im Definitionsbereich ja nur positive Zahlen sind, x oder y also nur positiv sein können. Also folgt unmittelbar:

$\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

Also ist f auf seinem Definitionsbereich injektiv

Ok, gibts auch noch so eine "Standartprozedur" für Surjektiv?

Dazu sollte ich ja laut dem zweiten Post f(a) und f(b) betrachten, wenn a<b, aber wie dann weiter?

Danke schonmal für die Hilfe,

eey

05.12.2009, 10:24

Mazze

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Surjektivität heisst ja das wir jedes Bildelement treffen, mit anderen Worten :

Sei $\begin{eqnarray*} f : A \to B \end{eqnarray*}$ eien Funktion, dnan heisst f Surjektiv wenn für alle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ . Hierbei spielt sowohl der Urbildbereich A als auch der Bildbereich B eine entscheidende Rolle.

Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

ist für

$\begin{eqnarray*} [0,1] \to [0,1] \end{eqnarray*}$

Surjektiv, für

$\begin{eqnarray*} [0,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aber nicht. Der Tip von Sergej88 funktioniert hier auch nicht. Ich zeigs dir wieder an den Geraden :

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \mapsto ax + b \text{ mit } a \neq 0 \end{eqnarray*}$

Geraden sind Surjektiv. Sei $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wir müssen dann ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ . Setze

$\begin{eqnarray*} x = \frac{y - b}{a} \end{eqnarray*}$ dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = f\left(\frac{y - b}{a}\right) = a * \frac{y - b}{a} + b = y - b + b = y \end{eqnarray*}$

Und da der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{y - b}{a} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert ist, haben wir also zu jedem y im Bildbereich ein x im Urbildbereich gefunden mit f(x) = y. Damit ist die Funktion surjektiv.

05.12.2009, 15:35

eey

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ok, bei meiner Aufgabe wäre das also dann so zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} f_1: [0;1] \longmapsto [0;1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{f_1}=[0;1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{y}=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

das plus/minus fliegt hier wieder weg, weil der Definitonsbereich ja nur positive Zahlen zulässt.

dann folgt:

$\begin{eqnarray*} f_1(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^2=y \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann: f ist auf seinem Definitionsbereich surjektiv! Richtig so?

aber wie mach ich das dann für [0;1] nach IR, was ja nicht surjektiv ist:

$\begin{eqnarray*} f_2: [0;1] \longmapsto ~\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{f_2}=[0;1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\pm\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

ok, aber dann kann ich doch auch einfach einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f_2(\sqrt{y})=f_2(-\sqrt{y})=(\pm\sqrt{y})^2=y \end{eqnarray*}$

hm, hier müsste es doch dann irgendwo einen Wiederspruch geben oder?
Ich mein es ist klar dass ich zum beispiel den y-Wert 200 nie erreichen werde und die Funktion deshalb nicht surjektiv ist, aber das müsste doch dann auch bei der Rechnung irgendwie rauskommen oder? Weil nicht immer kann man ja so einfach ein Gegenbeispiel sehen. verwirrt

05.12.2009, 17:07

Mazze

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Zitat:

daraus folgt dann: f ist auf seinem Definitionsbereich surjektiv! Richtig so?

Naja, mit Biegen und Brechen. So ists schöner :

Sei $\begin{eqnarray*} y \in [0,1] \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{y}) = y \end{eqnarray*}$ ist f damit Surjektiv.

Zitat:

aber das müsste doch dann auch bei der Rechnung irgendwie rauskommen oder?

Dein Problem ist, das Du $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{y}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y > 1 \end{eqnarray*}$ gar nicht schreiben darfst. Der Definitionsbereich ist [0,1], sprich, alle Werte kleiner als 0 oder größer als 1 darfst Du nicht einsetzen.

05.12.2009, 17:43

eey

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Zitat:

Original von Mazze

Dein Problem ist, das Du $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{y}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y > 1 \end{eqnarray*}$ gar nicht schreiben darfst. Der Definitionsbereich ist [0,1], sprich, alle Werte kleiner als 0 oder größer als 1 darfst Du nicht einsetzen.

Ach so, ja stimmt....

Also ich komm praktisch gar nicht drum rum mir irgendein Gegenbeispiel zu suchen, oder? Weil hier ist ja dann das Gegenbeispiel einfach y>1 oder y<0 (Das letzte ist ja eh nicht definiert).

Und noch ne Frage: Beispielsweise bei deinen Geraden y=ax+b, mit denen du mir gezeigt hast wie man Surjektivität feststellt: Dazu löst du ja nach x auf und setzt es in die Fuktion ein... Aber wenn du das nach x auflöst, ist das doch die Umkehrfunktion, oder??

Weil dann wäre die Formel ja:

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(y))=y \end{eqnarray*}$

also die Umkehrfunktion in die Funktion eingesetzt; Wenn ich jetzt aber schauen soll ob eine Funktion umkehrbar ist, muss ich doch zuerst schauen ob sie surjektiv ist, oder? verwirrt

05.12.2009, 18:27

Mazze

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Zitat:

Also ich komm praktisch gar nicht drum rum mir irgendein Gegenbeispiel zu suchen, oder?

Du könntest es auch anders zeigen, aber ein Gegenbeispiel ist völlig in Ordnung wenn man eine Aussage widerlegen will.

Zitat:

Aber wenn du das nach x auflöst, ist das doch die Umkehrfunktion, oder??

Nein, es ist zwar in diesem Fall das Gleiche , aber ich habe mir überlegt wie ich x ausdrücken muss damit f(x) = y ist. Ich habe nicht die Umkehrfunktion gebildet, sondern x so gewählt das y heraus kommt. Dabei muss man natürlich immer sicher stellen, dass die x dann auch im Definitionsbereich liegen und so weiter. Es ist alles in allem ein Formaler (aber wichtiger) Unterschied.

13.12.2009, 22:00

eey

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Hallo,

ich muss jetzt doch nochmal diesen Thread ausgraben. Und zwar wollte ich vorhin einfach mal ein paar Funktionen auf Injektivität/Surjektivität prüfen und dafür die von dir empfohlenen methoden verwenden.

Leider war ich nicht erfolgreich:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^3-2x^2+1 \end{eqnarray*}$

Ok, also erstmal die Injektivität, dafür muss ich ja zeigen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

ok, also stell ich die Gleichung auf:

$\begin{eqnarray*} 2x^3-2x^2+1=2y^3-2y^2+1 \end{eqnarray*}$

dann minus 1

$\begin{eqnarray*} 2x^3-2x^2=2y^3-2y^2 \end{eqnarray*}$

dann geteilt durch 2

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2=y^3-y^2 \end{eqnarray*}$

so, und jetzt? Wie soll ich jetzt weitermachen?

Ähnliches Problem bei Surjektivität:

ich habe ja:

$\begin{eqnarray*} y=2x^3-2x^2+1 \end{eqnarray*}$

also will ich x durch y ausdrücken und bringe erstmal den einser rüber:

$\begin{eqnarray*} 2x^3-2x^2=y-1 \end{eqnarray*}$

dann geteilt durch 2

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2=\frac{y-1}{2} \end{eqnarray*}$

hmmmm, und jetzt? Wie soll ich hier noch umformen, irgendwie komm ich da auch nicht weiter unglücklich

15.12.2009, 11:30

eey

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weiß keiner wie man bei dieser simplen Funktion Injektivität/Surjektivität zeigen kann?
Das muss sich doch noch weiter umformen lassen, oder verwirrt

15.12.2009, 11:50

Mazze

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Erstaunlich dass Du versuchst die Injektivität einer Funktion zu zeigen, die nicht injektiv ist. Offensichtlich ist f(0) = f(1).

Surjektiv ist die Funktion aber. Eine Möglichkeit wäre

$\begin{eqnarray*} y = 2x^3 - 2x^2 + 1 \Leftrightarrow 0 = 2x^3 - 2x^2 + 1 - y \end{eqnarray*}$

Das ist ein Nullstellenproblem einer kubischen Gleichung. Dafür gibts ein Standardverfahren. Die reelle Lösung hängt dann von y ab und wäre genau das was wir suchen. Anonsten kann man auch mit dem Zwischenwertsatz und Grenzwerten gegen + und - unendlich argumentieren. Stetig ist die Funktion ja. Vielleicht hilft auch eine Substitution mittels trigonometrischen Funktionen.

15.12.2009, 12:20

eey

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ja, injektiv ist sie nicht, aber das muss man doch auch mit deinem Weg zeigen können, oder? Ich bin nicht so ein Fan von Gegenbeispielen denn was mach ich wenn die Funktion nicht so simpel ist wie hier, wo man sofort ein Gegenbeispiel sieht?

Bei surjektiv:

Wenn ich dann das Polynom dritten Grades hab, also von der Form

$\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} 1-y \end{eqnarray*}$

mein d, oder?

15.12.2009, 14:43

Mazze

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Zitat:

ja, injektiv ist sie nicht, aber das muss man doch auch mit deinem Weg zeigen können, oder?

Wieso willst Du es schon wieder allgemein Zeigen? Ein Gegenbeispiel reicht völlig aus um eine Aussage zu widerlegen. Und mit f(1) = f(0) ist der Beweis, das f nicht injektiv ist in einer halben Zeile erledigt.

Zitat:

ist $\begin{eqnarray*} 1-y \end{eqnarray*}$ mein d, oder?

Ja genau. Vielleicht sieht ja jemand anderes noch einen schnelleren Weg. Aber der über die Nullstellen funktioniert auf jeden Fall.

15.12.2009, 16:14

eey

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Zitat:

Original von Mazze
Wieso willst Du es schon wieder allgemein Zeigen? Ein Gegenbeispiel reicht völlig aus um eine Aussage zu widerlegen. Und mit f(1) = f(0) ist der Beweis, das f nicht injektiv ist in einer halben Zeile erledigt.

Ich weiß schon das ein Gegenbeispiel völlig ausreichend ist Augenzwinkern

Aber, wie ich schon geschrieben habe, kann man so ein Gegenbeispiel eben nicht IMMER bei jeder Funktion sofort sehen. Deswegen, wenn ich kein Gegenbeispiel sofort finden kann, will ich den allgemeinen Weg verwenden.

Um das zu üben, wollte ich eben bei der Funktion allgemein zeigen dass sie nicht injektiv ist. Und bei so einer simplen Funktion muss das doch auch allgemein machbar sein oder? (Also ich hab das mit dem Gegenbeispiel schon verstanden, mir gehts bei der Aufgabe nur ums üben)

15.12.2009, 16:21

Mazze

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Zitat:

Man muss ein Gegenbeispiel ja auch nicht sofort sehen. Bei manchen mathematischen Problemen hat es 50 Jahre und mehr gedauert bis man ein Gegenbeispiel fand. Aber ich sag mal so, wenn eine Funktion hinreichend kompliziert ist , so dass ein Gegenbeispiel schwer zu finden ist, so ist der allgemeine Beweis auch schwierig (da gibts sicher Ausnahmen). Was den "allgemeinen" Weg angeht.

Injektiv heisst :

$\begin{eqnarray*} \forall ~ a,b \in D(f) : f(a) = f(b) \Rightarrow a = b \end{eqnarray*}$

Nicht injektiv heisst bei korrekter Negierung der Aussage :

$\begin{eqnarray*} \exists a,b \in D(f) : f(a) = f(b) \land a \neq b \end{eqnarray*}$

Sprich diese Aussage ist zu zeigen wenn eine Funktion nicht injektiv ist. Und der Existenzquantor zwingt einen schon dazu zumindest die Existenz solcher a,b zu zeigen. Und die Existenz zeigt man am besten in dem man eines angibt.

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