Lineare Abbildungen

29.11.2009, 20:37

Molson

Lineare Abbildungen

Nabend zusammen,

kann mir jmd bei Lineare Abbildungen helfen??

Ich habe eine Abb. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

wie gehe ich ganz allgemein vor um das Bild zu ermitteln???

Danke und Gruß
MOLSON

30.11.2009, 09:44

tigerbine

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RE: Lineare Abbildungen
Vielleicht zeigst du als ersten Schritt einmal die konkrete Gestalt der Abbildung?

30.11.2009, 20:01

Molson

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Die Abbildung lautet:

$\begin{eqnarray*} \varphi(a)= \alpha 1 *x1+\alpha 2*x2 *(\alpha3+\alpha4)x3 \end{eqnarray*}$

mit:

$\begin{eqnarray*} a= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, x2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, x3= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.11.2009, 22:45

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \varphi((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)^T)= \alpha_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +(\alpha_3+\alpha_4)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Bild ist also eine LK der 3 Vektoren x1,x2,x3. Sind die denn lu oder la? Und wie kann man somit das Bild schön einfach erzeugen mit einer Basis?

30.11.2009, 22:47

pablosen

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$\begin{eqnarray*} im(f) = \begin{pmatrix} \alpha_1 + \alpha_2 * ( \alpha_3 + \alpha_4 ) \\ \alpha_2 * ( \alpha_3 + \alpha_4 ) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow dim( im(f) ) = 2 \end{eqnarray*}$

stimmt das?

30.11.2009, 23:10

tigerbine

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Jein.

$\begin{eqnarray*} Im(f)=<x_1,x_2>,~Rang(f)=2 \end{eqnarray*}$

01.12.2009, 14:22

Molson

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Sorry ich hab ein Fehler gemacht beim abschreiben, es soll:

$\begin{eqnarray*} \varphi(a)= \alpha 1 *x1+\alpha 2*x2 +(\alpha3+\alpha4)*x3 \end{eqnarray*}$

heißen.

01.12.2009, 19:23

tigerbine

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Ich hatte das schon so aufgefasst. Augenzwinkern

01.12.2009, 22:08

Molson

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ah ok hatte schon gedacht, acher ich weib trotzdem nicht wie du auf x1,x2 als Bild kommst???

Gruß

01.12.2009, 22:14

tigerbine

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Hab ich doch geschrieben. und <> ist das Erzeugnis.

Zitat:

Das Bild ist also eine LK der 3 Vektoren x1,x2,x3. Sind die denn lu oder la? Und wie kann man somit das Bild schön einfach erzeugen mit einer Basis?

01.12.2009, 22:28

Molson

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ja das versteh ich nicht ganz!

01.12.2009, 22:29

tigerbine

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WAS verstehst du nicht. Du musst konkreter fragen.

01.12.2009, 22:35

Molson

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also:

x1 und x2 bilden die basis weil lin unabh. d.h. ich kann x3 durch x1 und x2 darstellen.
--> daraus folgt, dass x1 und x2 das bild der abbildung ist.

Richtig??

01.12.2009, 22:46

tigerbine

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Zitat:

Original von Molson
x1 und x2 bilden die basis weil lin unabh.

Zitat:

d.h. ich kann x3 durch x1 und x2 darstellen.

Zitat:

--> daraus folgt, dass x1 und x2 das bild der abbildung ist.

Nein. Das Bild ist das Erzeugnis, Span, lineare Hülle von x1 und x2 und nicht nur die beiden Vektoren, so wie du es schreibst.

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