Nullstellen bei dieser Gleichung berechnen

30.11.2009, 10:17

Butz

Nullstellen bei dieser Gleichung berechnen

Edit (mY+): Falscher Titel wurde berichtigt! Sh. Post von klarsoweit.

Ich sitze schon seit fast 1,5 Stunden dran, habe aber keinen gescheiten Ansatz gefunden. Habt ihr eine Idee? Zumindest einen Ansatz?

Brauche Nullstellen (für welchen x-Wert wird Formel gleich Null):

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{3x^2+27} + \frac{3x-1}{5x-4} = \frac{25x^2+12}{25x^2-16} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

30.11.2009, 10:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nullstellen bei dieser Formel berrechnen?

Zitat:

Original von Butz
Brauche Nullstellen (für welchen x-Wert wird Formel gleich Null):

Wenn du eine Funktion hättest, dann könnte man sich über Nullstellen unterhalten. So hast du aber eine Gleichung und man kann sich allenfalls fragen, von welchen x-Werten diese erfüllt wird.

Was hast du dir denn in den 1,5 Stunden überlegt?

30.11.2009, 10:27

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe verssucht, alles auf eine Seite zu bringen, und dann nach x umzustellen, irgendwann wurden die Zahlen jedoch zu groß... unglücklich

30.11.2009, 10:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal mußt du mit dem Hauptnenner multiplizieren. Beachte, daß in $\begin{eqnarray*} 25x^2 - 16 \end{eqnarray*}$ eine 3. binomische Formel steckt.

EDIT: ich finde es nicht toll, daß du dasselbe nochmal im Hochschulbereich postest. unglücklich

30.11.2009, 10:52

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry das mit dem Hochschulbereich.

Die Frage ist: Wieso Hauptnenner.

Ich habe mal ein bisschen vereinfacht und komme auf das:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} + \frac{3x-1}{5x+4} = \frac{25x^2+12}{\left(5x+4\right)\left(5x-4\right) } \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{5x-4}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} + \left(3x-1\right) = \frac{25x^2+12}{\left(5x+4\right)} \end{eqnarray*}$

Doch wie komme ich jetzt weiter? Man muss die Formel doch noch weiter vereinfachen können oder?

30.11.2009, 10:55

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Fehler:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-1}{5x-4} \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \frac{3x-1}{5x+4} \end{eqnarray*}$ bei der ersten Formel.

30.11.2009, 10:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Butz
Ich habe mal ein bisschen vereinfacht und komme auf das:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)} + \frac{3x-1}{5x+4} = \frac{25x^2+12}{\left(5x+4\right)\left(5x-4\right) } \end{eqnarray*}$

Da hast du dich verrechnet. Es ist $\begin{eqnarray*} (x+3) \cdot (x-3) \neq x^2 + 9 \end{eqnarray*}$ .
Und beim 2. Bruch ist auf einmal 5x+4 statt 5x-4 im Nenner. <-- OK. Habe deine Korrektur gelesen.

Zitat:

Original von Butz
Die Frage ist: Wieso Hauptnenner.

Wenn man die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert, dann wird man die Nenner von allen Brüchen los. Augenzwinkern

30.11.2009, 11:04

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Also soll ich jetzt den Hauptnenner von [latex}(x^2+9)[/latex] und $\begin{eqnarray*} (5x-4) \end{eqnarray*}$ bilden? Oder muss ich vorher den anderen Bruch rüberholen, sodass alles auf einer Seite steht?

30.11.2009, 11:06

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann leider nicht editieren:

Korrektur: $\begin{eqnarray*} (x^2+9) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (5x-4) \end{eqnarray*}$

30.11.2009, 11:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Butz
Also soll ich jetzt den Hauptnenner von [latex}(x^2+9)[/latex] und $\begin{eqnarray*} (5x-4) \end{eqnarray*}$ bilden?

Irgendwie stehst du mit den Vorzeichen auf Kriegsfuß. Der Hauptnenner besteht aus den Faktoren $\begin{eqnarray*} (x^2+9) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (5x+4) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Butz
Oder muss ich vorher den anderen Bruch rüberholen, sodass alles auf einer Seite steht?

Kann man machen, muß man aber nicht. Im Prinzip passiert das eh im nächsten Schritt.

Und Editieren kannst du, wenn du angemeldet wärest. Augenzwinkern

30.11.2009, 11:28

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das habe ich gemacht.

Unser Ausgangsterm:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+9} + \frac{3x-1}{5x-4} \end{eqnarray*}$

Auf einen Hauptnenner gebracht:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(5x-4\right) + \left(3x-1\right)\left(x^2+9\right) }{\left(x^2+9\right)\left(5x-4\right)} \end{eqnarray*}$

Löse ich die ganzen klammern auf, komme ich auf das:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^3-x^2+32x-13}{5x^3-4x^2+45x-36} \end{eqnarray*}$

So und nun? Das hat mir doch nicht wirklich geholfen oder wie? Was soll ich damit jetzt anfangen?

Vielen Dank für die Hilfe!

30.11.2009, 11:39

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nullstellen bei dieser Formel berrechnen?

Zitat:

Original von Butz
Ich sitze schon seit fast 1,5 Stunden dran, habe aber keinen gescheiten Ansatz gefunden. Habt ihr eine Idee? Zumindest einen Ansatz?

Brauche Nullstellen (für welchen x-Wert wird Formel gleich Null):

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{3x^2+27} + \frac{3x-1}{5x-4} = \frac{25x^2+12}{25x^2-16} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank

Wie sicher bist Du Dir bei der Aufgabenstellung, denn obige Gleichung hat keine Lösung.

30.11.2009, 11:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Butz
Löse ich die ganzen klammern auf, komme ich auf das:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^3-x^2+32x-13}{5x^3-4x^2+45x-36} \end{eqnarray*}$

So und nun? Das hat mir doch nicht wirklich geholfen oder wie? Was soll ich damit jetzt anfangen?

Die Klammern im Nenner brauchtest du nicht auflösen. Jetzt kannst du mit dem Hauptnenner multiplizieren.

Der Anmerkung von Kühlkiste solltest du mal nachgehen.

30.11.2009, 11:50

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber selbst wenn es keine Lösung gäbe, muss man das doch rechnerisch nachweisen können! Einfach sagen geht nicht, geht doch nicht...

Kann mir echt keiner helfen?

30.11.2009, 12:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du, was das ist:

Zitat:

Original von klarsoweit
Die Klammern im Nenner brauchtest du nicht auflösen. Jetzt kannst du mit dem Hauptnenner multiplizieren.

30.11.2009, 12:14

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit: Ich kann mit dem Hauptnenner multiplizieren?

30.11.2009, 12:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nullstellen bei dieser Formel berrechnen?
Ich fasse nochmal den aktuellen Stand der Dinge zusammen. Die Ausgangslage ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{3x^2+27} + \frac{3x-1}{5x-4} = \frac{25x^2+12}{25x^2-16} \end{eqnarray*}$

Das umgeformt ergibt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+9} + \frac{3x-1}{5x-4} = \frac{25x^2+12}{(5x+4) \cdot (5x-4)} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle bestimmen wir den Hauptnenner. Das ist $\begin{eqnarray*} (x^2+9) \cdot (5x+4) \cdot (5x-4) \end{eqnarray*}$

Und mit diesem Hauptnenner multiplizierst du nun die Gleichung.

30.11.2009, 13:24

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, solangsam versehe ich es!

Habe das ganze jetzt so gemacht, wie ihr es gesagt habt. Ich habe den rechten Teil rübergeholt, einen Hauptnenner gebildet und übrig bleibt das:

$\begin{eqnarray*} \frac{15x^4-43x^3+111x^2-87x+128}{\left(x^2-9\right)\left(5x-4\right)\left(5x+4\right)} = 0 \end{eqnarray*}$

So, wenn der Zähler 0 wird, ist diese Gleichung wahr, richtig?
Wie ihr schon erwähnt habt, gibt es vermutlich keine Lösung.
Woran muss ich das jetzt aber deutlich machen?
Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 15x^4-43x^3+111x^2-87x+128 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben kann? (mathematische Begründung!)

Vielen Dank für die Hilfe!

30.11.2009, 13:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Du hast im Nenner mal wieder aus einem Plus ein Minus gemacht (x² - 9) statt (x² + 9).
2. Habe ich im Zähler einen anderen Term raus.
3. Läßt mich das Ausmaß dieser Aufgabe daran zweifeln, daß du die Aufgabe original sauber abgeschrieben hast.

30.11.2009, 14:00

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich definitiv. Beantworte bitte mal meine Frage!

Thx

30.11.2009, 14:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann rechne mal vor, wie du auf den Zähler gekommen bist.

30.11.2009, 14:47

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich habe mal wieder ein paar Vorzeichen verwechselt!

Hier die (hoffentlich) richtige Rechnung:

Ausgangsrechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{3x^2+27} + \frac{3x-1}{5x-4} = \frac{25x^2+12}{25x^2-16} \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+9} + \frac{3x-1}{5x-4} - \frac{25x^2+12}{\left(5x-4\right)\left(5x+4\right)} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\left(5x-4\right)\left(5x+4\right) + \left(5x+4\right)\left(x^2+9\right)\left(3x-1\right) - \left(25x^2+12\right)\left(x^2+9\right)}{\left(x^2+9\right)\left(5x-4\right)\left(5x+4\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\left(25x^2+20x-20x-16\right) + \left(15x^4-5x^3+135x^2-45x+12x^3-4x^2+108x-36\right) - \left(25x^4+225x^2+12x^2+108\right)}{\left(x^2+9\right)\left(5x-4\right)\left(5x+4\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{25x^2-16+15x^4+7x^3+131x^2+63x-36-25x^4-237x^2-108}{\left(x^2+9\right)\left(5x-4\right)\left(5x+4\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-10x^4+7x^3-81x^2+63x-160}{\left(x^2+9\right)\left(5x-4\right)\left(5x+4\right)} \end{eqnarray*}$

So... jetzt müsste es stimmen. Und nun zurück zum Thema. Wenn der Zähler 0 wird, ist die Gleichung wahr, richtig?

Also muss gelten:

$\begin{eqnarray*} 25x^2-16+15x^4+7x^3+131x^2+63x-36-25x^4-237x^2-108 = 0 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich zeigen, dass dieser Fall nicht eintreten kann (oder kann er doch eintreten)???

Sry, meine letzte Mathestunde ist schon ein paar Jahre her, aber trotzdem danke für eure Hilfe!

MfG

30.11.2009, 14:49

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw. es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} -10x^4+7x^3-81x^2+63x-160 = 0 \end{eqnarray*}$

30.11.2009, 15:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Idee wäre, die linke Seite als Funktion aufzufassen, also $\begin{eqnarray*} f(x)=-10x^4 + 7x^3 - 81x^2 + 63x - 160 \end{eqnarray*}$ , und davon das Maximum zu bestimmen.

Die sich ergebende Nullstellenbestimmung eines Polynoms 3. Grades ist aber auch nicht erquicklicher.

30.11.2009, 15:05

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, und was heißt das genau?

Die Funktion geht ins Unendliche (hier mal ein Bild):

matheboard.de/plotter/plotter.php?f=%28%28-10%2Ax%5E4%2B7%2Ax%5E3-81%2Ax%5E2%2B63%2Ax-160%29%2F%28%28x%5E2%2B9%29%2A%285%2Ax%2B4%29%2A%285%2Ax-4%29%29%29&x=-3:3&y=-10:10&t=

Was ich brauche ist nur ein rechnerischer Nachweis. Irgendeine Idee??

30.11.2009, 15:25

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre nett, wenn du doch mal etwas zum Hintergrund dieser Aufgabe sagen wirst. Die fällt doch nicht einfach so vom Himmel?

Also statt $\begin{eqnarray*} f(x)=-10x^4 + 7x^3 - 81x^2 + 63x - 160 \end{eqnarray*}$ kann man auch mal $\begin{eqnarray*} g(x)=-10x^4 + 7x^3 - 22x^2 + 63x - 160 \end{eqnarray*}$ betrachten und von dieser Funktion das Maximum bestimmen.

30.11.2009, 15:35

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ändert diese zweite Formel?

Stell dir vor, du bist Schüler und sitzt in der Schule. Der Lehrer stellt dir im Test eine solche Aufgabe (oder als Übung etc.) und du musst diese Lösen. Du merkst, dass es keine Lösung gibt. Also musst du das rechnerisch begründen.

Rein mathematisch begründet ist es ja so, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = -10x^4+7x^3-81x^2+63x-160 \end{eqnarray*}$ den x-Koordinate nicht berührt. Das ist ja dann ganz logisch, das die Gleichung (ganz am Anfang) dann nicht stimmt.

Aber wie kann man das rechnerisch begründen? Das einzige, was mir als rechnerische Begründung einfällt, wäre die pq-Formel. Die lässt sich ja aber hier nicht anwenden. Was lässt sich dann anwenden (erst Polynomdivision, dann pq-Formel???)????

Jetzt verstanden was ich meine?? geschockt

30.11.2009, 15:37

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder anders gefragt:

Berechne die Nullstellen von: $\begin{eqnarray*} f(x) = -10x^4+7x^3-81x^2+63x-160 \end{eqnarray*}$

(in der Rechnung wird man dann merken, dass es keine gibt)...wie sieht die Rechnung aus?

30.11.2009, 15:39

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Es wäre nett, wenn du doch mal etwas zum Hintergrund dieser Aufgabe sagen wirst. Die fällt doch nicht einfach so vom Himmel?

Also statt $\begin{eqnarray*} f(x)=-10x^4 + 7x^3 - 81x^2 + 63x - 160 \end{eqnarray*}$ kann man auch mal $\begin{eqnarray*} g(x)=-10x^4 + 7x^3 - 22x^2 + 63x - 160 \end{eqnarray*}$ betrachten und von dieser Funktion das Maximum bestimmen.

Oder Du betrachtest

$\begin{eqnarray*} 10x^4+81x^2+160=7x^3+63x \end{eqnarray*}$

und machst folgende Fallunterscheidungen:

1. Für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ sollte alles klar sein.

2. Für $\begin{eqnarray*} 0\leq x < 1 \end{eqnarray*}$ gilt offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} 10x^4+81x^2+160>160> 7x^3+63x. \end{eqnarray*}$

3. Für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} 10x^4+81x^2+160>10x^3+81x>7x^3+63x. \end{eqnarray*}$

30.11.2009, 15:50

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Butz
Stell dir vor, du bist Schüler und sitzt in der Schule. Der Lehrer stellt dir im Test eine solche Aufgabe (oder als Übung etc.) und du musst diese Lösen. Du merkst, dass es keine Lösung gibt. Also musst du das rechnerisch begründen.

Wenn Du jetzt argumentiert hättest, dass Dir in der Praxis (Interpolation, oder was weiß ich wo) eine solche Gleichung in die Quere gekommen wäre, dann hätte ich gesagt: 'Okay, ist nicht Dein Tag heute - aber da musst Du jetzt durch.'

Wäre mir als Schüler dergleichen vorgesetzt worden, hätte ich jedenfalls nach dem Fehler in der Aufgabenstellung gefragt.
Denn die hier durchexerzierte elementare Bruch- und Potenzrechnung ist mit keinerlei methodischem Erkenntnisgewinn verbunden und somit auch didaktisch höchst fragwürdig.

30.11.2009, 15:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Butz
Was ändert diese zweite Formel?

Die Idee ist: wenn man gezeigt hat, daß für alle x die Funktion g(x) < 0 ist, dann gilt das erst recht für f(x). Aber bei g(x) läßt sich leicht mittels der Differentialrechnung das Maximum bestimmen.

Der Weg von Kühlkiste ist natürlich noch etwas direkter und auch leicht nachzuvollziehen.

30.11.2009, 16:05

Butz

Auf diesen Beitrag antworten »

Also aus Differentialrechnung bin ich raus. Das ist dann doch schon lange her. Die Fallunterscheidung von Kühlkiste ist leicht verständlich und plausibel und meiner Meinung nach ein rechnerischer Beweis, dass keine Nullstellen existieren können.

Ich gehe mittlerweile auch davon aus, das ein Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen muss.

Auf jeden Fall ist die Situation für jetzt klar (wo bewiesen ist, dass keine Nullstellen existieren). Auf jeden Fall danke ich euch recht herzlich für eure Hilfe und Kompetenz! Macht weiter so!

Neue Frage »

Antworten »

Nullstellen bei dieser Gleichung berechnen

Verwandte Themen