Reihe auf Konvergenz untersuchen

30.11.2009, 12:05

Jackelbombi

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Reihe auf Konvergenz untersuchen

Hallo zusammen!

Ich soll folgende Reihe auf Konvergennz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n^2-2i)}{(1+n^3i)} \end{eqnarray*}$

Ich habe es am Anfang mit dem Wurzelkriterium versucht, bin aber zu keinem guten Ergebnis gekommen. Ich glaube, dass das für diese Reihe auch nicht so sinnvoll ist.

Danach habe ich es mit dem Quotientenkriterium versucht. Aber da kommt auch nicht wirklich etwas Einfaches raus. Ab der der folgenden Stelle weiß ich nicht, was ich weiter machen soll bzw. was mir das sagen soll:

$\begin{eqnarray*} \sqrt { \frac{((n+1)^4+4)(1+n^6)}{(1+(n+1)^6)(n^4+4)}} < 1 \end{eqnarray*}$

Zeigt mir das vllt, dass es divergiert, wenn da nichts Vernüngftiges rauskommt?

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

30.11.2009, 12:09

klarsoweit

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RE: Reihe auf Konvergenz untersuchen
Ich würde erstmal den Bruch so umformen, daß der Nenner reell wird.

30.11.2009, 12:14

Jackelbombi

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Danke erstmal für die schnelle Antwort Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also den Bruch mit dem Komplexkonjugierten erweitern, dann kommt da raus:

$\begin{eqnarray*} \frac {(n^2-2i)(1-n^3i)} {n^6+1} \end{eqnarray*}$

richtig?

Und dann kann ich doch eher das Wurzelkriterium anwenden oder?

30.11.2009, 12:26

klarsoweit

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Ich würde erstmal die Klammern im Zähler ausmultiplizieren.

30.11.2009, 12:37

Jackelbombi

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okay, dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac {-2n^3+n^2-n^5i-2i}{n^6+1} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das Quotientenkriterium darauf anwende kommt so etwas:

$\begin{eqnarray*} \frac {((n+1)^2-(n+1)^5i-2i-2(n+1)^3)(n^6+1)}{((n+1)^6+1)(n^2-n^5i-2i-2n^3)} \end{eqnarray*}$

geschockt

geschockt

Sollte man das jetzt auch noch alles ausklammern?

30.11.2009, 12:57

klarsoweit

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Du bist ja richtig versessen darauf, irgendein Kriterium anzuwenden. Ich würde mir mal den Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} \frac {-2n^3+n^2-n^5i-2i}{n^6+1} \end{eqnarray*}$ anschauen. Fällt da was auf?

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30.11.2009, 13:07

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Anmerkung: Es sollte eigentlich nach wenigen solchen Rechenbeispielen klar sein, dass Quotienten- und Wurzelkriterium bei rein rationalen bzw. gebrochen rationalen Reihengliedern (egal ob reell oder komplex) nicht greifen - da kommt einfach immer als Quotienten- bzw. Wurzelgrenzwert die 1 heraus.

30.11.2009, 13:09

Jackelbombi

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Wir haben gerade die ganzen Kriterien in der Vorlesung gehabt und ich dachte deshalb es wäre am Einfachsten es mit den Kriterien zu lösen.

Aber an dem Imaginärteil fällt mir jetzt nicht wirklich was auf?! verwirrt

verwirrt

30.11.2009, 13:17

klarsoweit

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Wie sieht denn der aus?

30.11.2009, 13:29

Jackelbombi

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Ja, der Imaginärteil davon ist
$\begin{eqnarray*} \frac {-n^5-2i}{n^6+1} \end{eqnarray*}$

30.11.2009, 13:55

klarsoweit

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Lassen wir das i mal weg, dann sind wir bei $\begin{eqnarray*} \frac{-n^5-2}{n^6+1} \end{eqnarray*}$ .

Wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} \frac{-n^5-2}{n^6+1} \leq \frac{-n^5}{n^6+n^6} = -\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ .

Und was kannst du über die Konvergenz des letzten Bruchs sagen?

30.11.2009, 14:05

Jackelbombi

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Der letzte Bruch läuft dann gegen Null...

Aber wie bist du denn daraus gekommen?

30.11.2009, 14:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jackelbombi
Der letzte Bruch läuft dann gegen Null...

Ich meinte natürlich die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~-\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ .

Und zu relativ trivialen Abschätzungen sage ich jetzt mal nichts.

30.11.2009, 14:20

Jackelbombi

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Achso, ja dann gegen -1 oder nicht?

Aber ich verstehe nicht wie man auf das $\begin{eqnarray*} \frac{-n^5-2}{n^6+1} \leq \frac{-n^5}{n^6+n^6} = -\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ kommt...

Woher kommt denn das zweite n^5 im Nenner?

30.11.2009, 14:22

Jackelbombi

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n^6 meinte ich, sorry! Irgendwie hängt die Seite und ich kann nicht editieren...

30.11.2009, 14:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jackelbombi
Achso, ja dann gegen -1 oder nicht?

So, so. Von der harmonischen Reihe hast du noch nichts gehört?

Zitat:

Original von Jackelbombi
Woher kommt denn das zweite n^5 im Nenner?

Das habe ich mit einfach genommen, frei nach dem Motto $\begin{eqnarray*} n^6+1 \leq n^6 + n^6 \end{eqnarray*}$ .

30.11.2009, 14:44

Jackelbombi

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Ooooh

Hammer

Stimmt ja, also divergiert die Reihe

30.11.2009, 15:03

klarsoweit

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Genau.

smile

30.11.2009, 15:07

Jackelbombi

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Super, vielen Dank! Wink

Wink

30.11.2009, 16:37

Jackelbombi

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Ich habe da noch eine Aufgabe bei der ich nicht weiß, ob es richtig ist, was ich da gemacht habe.

Die Summe ist diese: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2+n!}{(2+n)!} \end{eqnarray*}$

Da habe ich einfach erstmal umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2+n!}{(2+n)!} = \frac{2+n!}{(2+n)(n+1)n!} = \frac{\frac {2}{n!} + 1} {(n+2)(n+1)} = \frac{\frac {2}{n(n-1)} + 1} {(n+2)(n+1)} = \frac {2(n+2)(n+1)+(n+2)(n+1)}{n(n-1)} = \frac {3n^2+9n+6}{n^2-n} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das stimmt schonmal bis hierhin?! verwirrt

verwirrt

Danach habe ich mir dann den Limes angeschaut für wachsende n und l'Hopital angewendet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac {3n^2+9n+6}{n^2-n} =\lim_{n \to \infty} \frac { 6n+9}{2n-1} = \frac {6}{2} = 3 \end{eqnarray*}$

über dem ersten und zweiten Gleichheitszeichen sollte dann noch l'H stehen (für l'Hopital)....Wusste nicht wie Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2009, 17:15

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Dier Vereinfachung $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n!} \stackrel{?}{=} \frac{2}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ ist i.a. falsch (über den weiteren Fortgang der Rechnung in dieser Zeile decken wir lieber ganz den Mantel des Schweigens). Die brauchst du auch gar nicht, wenn du den Zähler einfach gemäß

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n!} + 1 \leq \frac{2}{1} + 1 = 3 \end{eqnarray*}$

nach oben abschätzt und dann für das entstehende

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2+n!}{(2+n)!} \leq \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

das Majorantenkriterium nutzt.

Damit ist die Konvergenz gesichert. Die Reihe ist übrigens so einfach, dass man auch den Reihenwert ziemlich schnell berechnen kann.

30.11.2009, 17:33

Jackelbombi

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Hehe

Ups

, das ist einfacher gesagt, als getan...
Kannst du mir das vllt nochmal erklären? Das wäre echt super Engel

Engel

30.11.2009, 17:36

AD

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Welchen Teil? Die kleine Abschätzung da, oder dass die Majorantenreihe auch tatsächlich konvergiert?

30.11.2009, 17:42

Jackelbombi

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Dass die Majorantenreihe auch tatsächlich konvergiert..... Ups

Ups

30.11.2009, 17:49

AD

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Naja, das ist eine Teleskopreihe, die in ähnlicher Form schon zig- wenn nicht hunderte Male hier im Forum besprochen wurde:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = 1 \end{eqnarray*}$ .

30.11.2009, 19:40

Jackelbombi

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Okay danke, das hat mir echt weitergeholfen. Ich habe aber jetzt noch 2 Fälle mit Fakultät drin. Da komme ich auf keinen grünen Zweig:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{3n+1)!}{(n!)^3} \end{eqnarray*}$

Ich habe echt gar keinen blassen Schimmer, wie ich da vorgehen kann/soll/muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wäre für Tipps danbar Gott

Gott

30.11.2009, 19:45

klarsoweit

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Bei Fakultäten als Summand kommt man meistens mit dem Quotientenkriterium gut zurecht.

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