Injektivität und Surjektivität zeigen. Wie geht das?!!

30.11.2009, 14:25	aiead2002	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität und Surjektivität zeigen. Wie geht das?!! Guten Tag! Ich muss morgen meine Lösung für die Aufgaben abgeben. Aber leider komme ich bei eine Aufgabe nicht weiter. Es geht um folgende Aufgabe: Aufgabe: Untersuchen Sie die jeweilige Funktion F auf Linearität, Injektivität und Surjektivität: a) $\begin{eqnarray} F : R^{2}\to R^{2}, F(x, y):= (xy, x-y) . \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} F : R^{n}\to R^{n}, F(x_1, ..., x_n):= (x_1 - \bar{x}, ..., x_n - \bar{x}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bar{x}:= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n~x_i . \end{eqnarray}$ Auf die Linearität habe ich die Aufgabe geprüft und das ist nicht das Problem. Problematisch wird es bei der Injektivität und Surjektivität. Übrigens: Mein Prof hat die Injektivität und Surjektivität wie folgt definiert: Eine Abbildung $\begin{eqnarray} F : V \to W \end{eqnarray}$ zwischen zwei Mengen $\begin{eqnarray} V und W \end{eqnarray}$ heißt: - Injektiv: wenn $\begin{eqnarray} F(v) = F(v') \end{eqnarray}$ nur für $\begin{eqnarray} v = v' \end{eqnarray}$ gilt (d.h. zu jedem $\begin{eqnarray} w \in W \end{eqnarray}$ existiert höchstens ein $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(v) = w \end{eqnarray}$ ) - Surjektiv: wenn Bild $\begin{eqnarray} F = W \end{eqnarray}$ gilt (d.h. zu jedem $\begin{eqnarray} w \in W \end{eqnarray}$ existiert mindestens ein $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(v) = w \end{eqnarray}$ ) Ich bin sehr froh und dankbar für jede Hilfe. LG
30.11.2009, 15:41	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität und Surjektivität zeigen. Wie geht das?!! Zu a): Injektivität: Nimm $\begin{eqnarray} x,y,x',y'\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ beliebig und nimm an, dass $\begin{eqnarray} F(x,y)=F(x',y') \end{eqnarray}$ ist. Zeige nun: $\begin{eqnarray} x=x' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=y' \end{eqnarray}$ . (Oder gib ein Gegenbeispiel an.) Surjektivität: Nimm $\begin{eqnarray} v,w\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ beliebig und zeige, dass es $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} F(x,y)=(v,w) \end{eqnarray}$ (Oder gib ein Gegenbeispiel an.) b) analog Wenn die Funktionen linear sind, reicht es zu zeigen, dass der Kern nur aus dem Nullvektor besteht. Daraus folgt dann die Injektivität und durch die Endlichdimensionalität auch die Surjektivität. (Allerdings nur, wenn Ihr das schon hattet.) Gruß, Reksilat.
30.11.2009, 21:19	aiead2002	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Reksilat vielen dank.

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