Konvergenz von Reihen untersuchen

30.11.2009, 18:43

thoene

Konvergenz von Reihen untersuchen

Nabend! Ich tu mich etwas schwer mit der Konvergenz von Reihen. Folgende Reihe soll auf Konvergenz untersucht werden:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{2^k * k!}{k^{k}} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand zeigen wie man das am besten macht?

30.11.2009, 18:47

tmo

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Quotienten- oder Wurzelkriterium sind hier gute Lösungsansätze.

30.11.2009, 20:20

Graf_Love

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RE: Konvergenz von Reihen untersuchen
Bin zwar erst im ersten Semester, aber ich würde es wohl mit dem Quotientenkriterium probieren, da das meistens sehr gut auf n! passt - Wurzelkriterium lieber bei Reihen ohne Fakultäten, dann ist es aber meist besser (glaube ich ;-))

01.12.2009, 17:02

thoene

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Okay, vielen Dank schon mal für die Hinweise. Ich habe mir das Quotientenkriterium gerade mal angesehen, komme aber trotzdem nicht weit. Ich sollte vielleicht dazu sagen, dass ich echter Anfänger bin und so etwas selbst noch nie gemacht habe. Vielleicht schaffen wir es zusammen, sodass ich ein wenig Übung bekomme und bald auch alleine vor solchen Aufgaben bestehe ;-) Als erstes stellt sich mir die Frage wie ich auf mein q komme. Kann man das nach Schema F bestimmen?

Viele Grüße

thoene

01.12.2009, 18:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von thoene
Als erstes stellt sich mir die Frage wie ich auf mein q komme. Kann man das nach Schema F bestimmen?

Nun ja, Schema F vielleicht nicht. Das übliche Verfahren ist, daß man von $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| \end{eqnarray*}$ den Grenzwert für k gegen unendlich bildet. Ist der Grenzwert g kleiner als 1, dann gibt es auch ein q < 1, so daß $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q \end{eqnarray*}$ ist für fast alle k.

02.12.2009, 14:14

thoene

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Danke, guter Hinweis. Wenn ich das also so einsetze, kann ich wie folgt auflösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{k+1}(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} * \frac{k^{k}}{2^{k}*k!} = \frac{2^{k+1}k!(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k+1}2k*k!} = \frac{2^{k+1}(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k+1}2k} = \frac{2^{k+1}(k+1)k}{2(k+1)^{k+1}} = \frac{2(k+1)k}{2(k+1)} = k \end{eqnarray*}$

Kann mal jemand drüber sehen ob das so richtig ist?

Vielen Dank!

02.12.2009, 14:33

klarsoweit

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Unerklärlicherweise ist aus dem 2^k ein 2k geworden.
Was dann in der weiteren Folge aus dem k^k geworden ist, kann ich auch nicht nachvollziehen.

02.12.2009, 15:12

thoene

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Etwas flüchtig abgetippt. Nochmal ab der ersten unklaren Stelle u. mit Erklärung:

Zusammenschreiben und Umschreiben der Fakultät im Zähler:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{k+1}k!(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k+1}2^{k}k!} \end{eqnarray*}$

Kürzen der Exponenten "k+1" und "k" und von k!:
$\begin{eqnarray*} \frac{2(k+1)k}{2(k+1)} \end{eqnarray*}$

Richtig?

02.12.2009, 15:15

klarsoweit

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Nach welchen Potenzregeln du $\begin{eqnarray*} \frac{k^k}{(k+1)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ kürzt, mußt du mir mal genauer erklären.

02.12.2009, 15:25

thoene

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Dachte ich kürze in $\begin{eqnarray*} \frac{2^{k+1}}{(k+1)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ jeweils einfach das "k+1". Aber wenn ich da Mist baue, freue ich mich über Aufklärung - ist alles schon etwas länger her.

02.12.2009, 15:33

klarsoweit

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Mal wieder mit der Axt im Walde unterwegs? unglücklich

Zur Auffrischung: http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzrechnung#Rechenregeln

02.12.2009, 16:48

thoene

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Ups... Habe vorher an anderer Stelle versucht mich etwas schlau zu machen, das aber offensichtlich falsch interpretiert. Mal gucken ob ich mit den neuen Informationen aus der großen Axt nen kleines Taschenbeil machen kann...

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{k+1}k!(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k+1}2^{k}k!} = \frac{2^{k+1}(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k+1}2^{k}} = \frac{2(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k+1}} = \frac{2k^{k}}{(k+1)^{k}} \end{eqnarray*}$

Wie siehts damit aus?

02.12.2009, 17:53

Arbeitsbine

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Ja stimmt soweit jetzt nur weiter machen

Tipp: $\begin{eqnarray*} \frac{2k^k}{(k+1)^k}= 2*\frac{k^k}{(k+1)^k} \end{eqnarray*}$

Potenzgesetze anwenden

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{k^k}{(k+1)^k}=2*\left(\frac{k}{k+1}\right)^k \end{eqnarray*}$

Ok probiere jetzt mal selber noch ein Tipp $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k\to e \end{eqnarray*}$

08.12.2009, 20:39

thoene

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sorry für die späte antwort aber ich will das ganze hier doch noch abschließen. ich habe meinen letzten beitrag sozusagen nur noch durch eine abschätzung ergänzt und das ganze dann abgegeben - und es war richtig.

hinzugekommen ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{2k^{k}}{(k+1)^{k}} = 2 \frac{k * k * k * ... * k}{(k+1) * (k+1) * (k+1) * ... * (k+1)} \leq \frac{2}{k} \end{eqnarray*}$

Da der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \leq 1 \end{eqnarray*}$ existiert auch ein $\begin{eqnarray*} q < 1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \leq q \end{eqnarray*}$ ist für alle k. Daraus folgt nach dem Quotientenkriterium, dass die Reihe absolut konvergiert.

09.12.2009, 10:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von thoene
$\begin{eqnarray*} 2 \frac{k * k * k * ... * k}{(k+1) * (k+1) * (k+1) * ... * (k+1)} \leq \frac{2}{k} \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung ist falsch. Und wenn man das als richtig durchgehen läßt, muß ich mich schon wundern.

09.12.2009, 13:10

thoene

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Komisch.. Ist das grundsätzlich falsch oder nur eine Kleinigkeit? Ich habe eben noch gesehen, dass 1Pkt für das <= abgezogen wurde, mit dem Kommentar "Warum?". Ist es das was du meinst oder mehr? Ich meine die Punkte habe ich im Sack aber fänd es auch nicht unbedingt nett uns mit solchen Irrglauben in die Klausur zu schicken, deshalb interessiert mich wirklich was falsch ist.

09.12.2009, 13:13

klarsoweit

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Wenn die Abschätzung stimmen würde, dann müßte $\begin{eqnarray*} \frac{2k^{k}}{(k+1)^{k}} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergieren, was definitiv nicht der Fall ist.

Ich frage mich auch, was du da wie abgeschätzt hast.

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