Basis des Kerns und Bildes

30.11.2009, 21:02	El_Snyder	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Kerns und Bildes Hallo! Ich habe die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} M = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 0 & -2 & \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und soll nun daraus die Basis des Kerns und des Bildes bestimmen. Für die Basis des Kerns löse ich die Gleichung Mx=0, dazu bringe ich M in die Hermitesche Normalform: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Da es keine Zeile ohne Stufenanfang gibt, ist die Basis des Kerns doch gleich 0 oder? Also $\begin{eqnarray} Ker(L) = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ (ich bin mir nicht sicher ob es einen Unterschied zwischen dieser Schreibweise und dem Audruck "Basis des Kerns" gibt). Die Basis des Bildes wird ja aus den linear unabhängigen Spalten meiner Darstellungsmatrix gebildet. D.h. ich transponiere M und forme um zu: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Ich würde deshalb jetzt sagen, dass $\begin{eqnarray} Bild(L) = span \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ Die Lösung gibt mir aber die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht wo die 1 an jeweils 3. Stelle herkommt... Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Danke schonmal.
30.11.2009, 22:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis des Kerns und Bildes [Artikel] Basis, Bild und Kern
30.11.2009, 23:18	El_Snyder	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Workshop habe ich mir bereits durchgelesen, allerdings drängen sich mir trotzdem folgend Frage auf: Wenn ich das LGS Mx = 0 löse, wie lese ich dann genau die Basis des Kerns ab und schreibe ich diese Basis dann auch als Ker(F)? Das wird mir aus deinen Beispielen leider nicht ersichtlich. Die Basis des Bildes habe ich dann nach deinem Workshop also richtig berechnet? Das würde bedeuten, dass die Musterlösung falsch ist..? Schwer vorzustellen :/
30.11.2009, 23:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis des Kerns und Bildes $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & -2 & \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Workshop sagt für den Kern, löse $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & -2 & \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Matrix hat schon Stufengestalt. Ma könnte Gauss noch stur durchziehen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 & \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=0,~x_1=0 \end{eqnarray}$ , trivialer Kern Die Matrix hat schon oben Stufenform, es muss nichts umgefornt werden. $\begin{eqnarray} Im(M)=\text{span}\{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\-2 \\ 0\end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ Natürlich darf man Skalar reduzieren, man kann auch schreiben $\begin{eqnarray} Im(M)=\text{span}\{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 0\end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ Die Musterlösung muss falsch sein. M hat in Zeile 3 eine Nullzeile.
01.12.2009, 01:18	El_Snyder	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt bin ich mir ziemlich sicher das ganze verstanden zu haben
01.12.2009, 07:24	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal ist es dann noch praktisch, die Basis des Kerns auf eine möglichst einfache Form zu bringen. In diesem Fall wären das einfach die ersten beiden Einheitsvektoren. Wenn nur nach einer Basis gefragt ist, musst du das nicht machen, aber wenn du anschließend weiterrechnen willst, ist das häufig sehr nützlich.
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