Winkelberechnung von Vektoren

30.11.2009, 23:52

Antoras

Winkelberechnung von Vektoren

Hallo,

gegeben sind die vier Punkte A(2|-2|-2), B(-2|5.5|-2), C(-6|2|4) und D(1|-2|1). Es sollen die Innenwinkel und deren Winkelsumme ausgerechnet werden.

Bei der Winkelsumme sollten doch 360° rauskommen, oder?

Die bekomme ich nämlich nicht raus - habe folgende Formel angewandt:
$\begin{eqnarray*} BAD:\quad\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|} \end{eqnarray*}$

Für die Richtungsvektoran a und b hab ich:
$\begin{eqnarray*} \vec{AD}=A-D=\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AB}=A-B=\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\5.5\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-7.5\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bekomme da DAB=81,44° raus. Zusammen mit den anderen Winkeln komme ich insgesamt nur auf ~216° (ABC=51,68°; BCD=29,52°; CDA=53,97°). Stimmt mein Ansatz so überhaupt und hab ich mich schlichtweg nur verrechnet?

01.12.2009, 01:14

riwe

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RE: Winkelberchnunng von Vektoren

Zitat:

Original von Antoras
Hallo,

gegeben sind die vier Punkte A(2|-2|-2), B(-2|5.5|-2), C(-6|2|4) und D(1|-2|1). Es sollen die Innenwinkel und deren Winkelsumme ausgerechnet werden.

Bei der Winkelsumme sollten doch 360° rauskommen, oder?

Die bekomme ich nämlich nicht raus - habe folgende Formel angewandt:
$\begin{eqnarray*} BAD:\quad\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|} \end{eqnarray*}$

Für die Richtungsvektoran a und b hab ich:
$\begin{eqnarray*} \vec{AD}=A-D=\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AB}=A-B=\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\5.5\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-7.5\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bekomme da DAB=81,44° raus. Zusammen mit den anderen Winkeln komme ich insgesamt nur auf ~216° (ABC=51,68°; BCD=29,52°; CDA=53,97°). Stimmt mein Ansatz so überhaupt und hab ich mich schlichtweg nur verrechnet?

dein ansatz stimmt in etwa:

wenn du die innenwinkel richtig berechnen willst, mußt du die vektoren so wählen, dass sie vom scheitel des winkel WEG zeigen!

also z.b beachten, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA} \end{eqnarray*}$

allerdings wirst du mit den angegebenen werten nie auf S = 360° kommen, da der punkt D nicht in der von A, B und C aufgespannten ebene liegt geschockt

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