Gleichungssystem Lösungen

01.12.2009, 19:08	Jürgen19	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem Lösungen Hallo, ich habe mal eine Frage zu dieser Aussage: Sind $\begin{eqnarray} y_1,...y_n \end{eqnarray}$ Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ , so ist auch $\begin{eqnarray} y=a_1y_1+...+a_ky_k \end{eqnarray}$ eine Lösung. Kann mir das mal bitte jemand erläutern? Viele Grüße
01.12.2009, 19:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \Phi\in End(V) \end{eqnarray}$ der zur Matrix A gehörige Endomorphismus. Das ist eine LINEARE Selbstabbildung von V, also gilt $\begin{eqnarray} \Phi(y)=\Phi(a_1y_1+...+a_ky_k)=a_1\Phi(y_1)+...+a_k\Phi(y_k)=a_10+...+a_k0=0 \end{eqnarray}$
01.12.2009, 20:11	Jürgen19	Auf diesen Beitrag antworten »
Also unter Endomorphismus kann ich mir leider nicht viel vorstellen. Könntest du das ganze vlt. an einem Konkreten Zahlenbeispiel verdeutlichen?
02.12.2009, 20:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wenn du gar nicht weißt, welche Aufgabe du stellst, hilft das auch nicht weiter.
02.12.2009, 21:38	Jürgen19	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja also in der Vorlesung haben wir das nur so gesagt bekommen, ohne die Erklärung mit Endomorphismus etc. Also wenn A eine nxm Matrix ist dann ist X ja eine mx1 Matrix, oder? Sind die a dann die Elemente der Matrix A und die y die Elemente der Matrix X, oder?
03.12.2009, 20:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz anders. A=(a_ij) ist eine nxm Matrix mit Koeffizienten a_ij, (i=1,...,n) , (j=1,...,m). x=(x_j) ist ein Vektor in den Variablen x_j (j=1,...,m). Ax=0 ist eine lineares Gleichungssystem. y_1,...,y_k sind Vektoren (wie x) , die dieses lineare Gleichungssystem lösen. a_1,...,a_k sind beliebige Zahlen aus dem zum Vektorraum gehörigen Körper (sogenannte Skalare). Dann ist die Aussage , daß auch jede Linearkombination a_1y_1+...+a_ky_k eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax=0 ist. (Mit anderen Worten: Die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems sind ein Untervektorraum von V). (Mein Beweis gilt natürlich für Homomorphismen genau so wie für Endomorphismen).
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03.12.2009, 21:04	Jürgen19	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut jetzt habe ich es verstanden. Das Homogene Gleichungssystem hat ja unendlich viele Lösungen, wenn es eine nicht triviale hat. Und so sind die Lösungen alle Linearkombinationen einer "Basislösung". Noch mal eine allgemeine Frage dazu. Der Vektor Y ist quasi der Vektor X, der das LGS löst.
04.12.2009, 10:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das homogene lineare Gleichungssystem hat als Lösung jede Linearkombination von Basislösungen. Meine Aussage unterscheidet sich von deiner Aussage in wesentlichen Punkten: 1. Es gibt nicht nur eine Basislösung, sondern k Basislösungen, diese bilden eine Basis des k-dimensionalen Untervektorraums. Alle Elemente dieses "Lösungsraumes" lösen das LGS, das sind genau die Linearkombinationen von Basislösungen. 2. Die Aussage schließt auch den Fall ein, dass das LGS nur die triviale Lösung hat, dann ist die Basis die leere Menge und die einzige Lösung der Nullvektor. Der Nullvektor ist eine Linearkombination von 0 Basisvektoren. 3. Für einen endlichen Körper K und einen Vektorraum V/K endlicher Dimension gibt es auch nur endlich viele Lösungen eines LGS. Unendlich viele Lösungen kann es nur über unendlichen Körpern oder in unendlichdimensionalen Vektorräumen geben. Zu deiner "allgemeinen Frage" : Ja, jeder Vektor y mit Ay=0 löst das LGS Ax=0. Nein, nicht "quasi", sondern "tatsächlich"

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