Lineare Abbildung mit einer Matrix

01.12.2009, 20:38

Matheversteher

Lineare Abbildung mit einer Matrix

guten Abend Matheboarder!
Ich Habe folgendes Problem mit der folgenden Aufgabe (Im Anhang).

also es reicht für den anfang die a) (b soll man am Ende nur zeigen, das dürfte nicht schwer sein, wenn alle Matrizen vorhanden sind)

Ich soll die genannten Matrizen berechnen. Leider habe ich nicht wirklich Ahung wie ich an die Sache rangehe.

Ich habe mir gedacht:
Dass die erste gesuchte Matrix $\begin{eqnarray*} S := M_{C'}^{C} \end{eqnarray*}$ , eine $\begin{eqnarray*} 2x2 \end{eqnarray*}$ Matrix sein soll.
Auch denke ich, dass ich einen Vektor "durch C' hindurchschicken",
in der Art $\begin{eqnarray*} C'*v \end{eqnarray*}$ ) soll um den indentischen Vektor in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ zu erhalten
(das Ergebniss aus $\begin{eqnarray*} C'*v \end{eqnarray*}$ muss ich nun mit den Vektoren aus C linearkombinieren wodurch meine gesuchte Matrix entsteht).

Mein Problem liegt jetzt darin, welches ist denn der Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ den ich hierfür verwenden könnte, wenn meine Überlegungen soweit richtig sind?!

Ich hoffe ich habe mein Problem und meinen Lösungsansatz nachvollziehbar dargestellt habe. Über Hilfe würde ich mich freuen.

01.12.2009, 21:51

Matheversteher

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Keiner da der mir helfen kann? Oder ist meine Frage zu undurchsichtig gestellt?

01.12.2009, 22:18

tigerbine

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Wir sind kein Chatboard. Also bitte etwas mehr Geduld. Danke. Imho habe ich hier schon viel zu dem Thema gesagt. [Artikel] Basiswechsel

a) liefert die Matrizen

b) Invertieren, damit du siehst, wie man die Abbildung alternativ schreiben kann

01.12.2009, 23:06

Matheversteher

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Mhhh also irgendwie kann ich dem ganzen nicht folgen.Es tut mir leid tigerbine.
traurig

Also ich habe die Matrix
$\begin{eqnarray*} M_{B}^{C}(f)= \begin{pmatrix} 7&5&6 \\ 3&2&-1 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

und die Basen $\begin{eqnarray*} {B} = \{(17,-25,1), (0,1,0), (16,0,1)\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} {C} = \{(1,0),(0,1)\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {C'} = \{(3,7),(2,5)\} \end{eqnarray*}$

So und was stelle ich jetzt als Linearkombination wovon dar?

Suche ich mir jetzt einen Vektor aus $\begin{eqnarray*} C' \end{eqnarray*}$ , etwa $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und stelle diesen als einen linear Kombination aus C' dar?

Ach ich hab einfach keine ahunng wie ich es anstellen soll unglücklich

01.12.2009, 23:25

tigerbine

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Kein Grund zum Weinen. Es ist wirklich einfach. Augenzwinkern

Wie haben eine Lineare Abbildung von V nach W. Nun statten wir V und W mit Basen (Koordinatensystemen) aus. Dann hat die LA die Darstellungsmatrix:

$\begin{eqnarray*} M_{B}^{C}(f)= \begin{pmatrix} 7&5&6 \\ 3&2&-1 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

D.h. Mv=w liefert bei Inputvektor v aus V mit Koordinaten bzgl. B Outputvektor w in W mit Koordinaten bzgl. C.

Nun kommt aber jemand und sagt, er will V und W lieber mit anderen Basen ausstatten und will dann wissen, wie die Darstellungsmatrix aussieht. Wir gucken ihn etwas genervt an, denn er überlässt uns ja die ganze Arbeit. unglücklich

1. Wir müssen die Matrizen der Basiswechsel von B nach B' und C nach C' berechnen
2. Wir müssen eine der Matrizen invertieren

In unseren Dimensionen geht das ja noch. Big Laugh

Wir hatten die Aufgabe hier schon mal Fehler beim Basiswechsel

Ich mache es mit einem Vektor vor. Du musst LGS lösen, da b1' als LK von b1,b2,b3 geschrieben werden muss. Die Koordinatenvektoren in B, B' sind bzgl. der Standardeinheitsbasis zu verstehen. Der Vektor ist dann die erste Spalte von S.

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 17 &0&16 \\ -25 & 1&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_{11} \\ s_{21} \\ s_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_{11} \\ s_{21} \\ s_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 25 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.12.2009, 23:57

Matheversteher

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Mhhhh also ich bin mir nicht so ganz sicher ob ich das jetzt sio richtig verstanden habe aber ist auch schon spät. Habe ich richtig verstanden, dass $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C' \end{eqnarray*}$ zusammen gehören und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ? (Ich hoffe du weist was ich meine)
Werde aber jetzt erstmal eine Nacht drüber schlafen. Ich bin mir sicher, dass ich es morgen schaffen werde diese Aufgabe zu lösen. smile

und sei es mit deiner Hilfe.
Was ich allerdings zu dieser späten Stunde nicht verstehe ist wie du bei

Zitat:

Zitat von tigerbine
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 17 &0&16 \\ -25 & 1&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_{11} \\ s_{21} \\ s_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_{11} \\ s_{21} \\ s_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 25 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auf den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_{11} \\ s_{21} \\ s_{31} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kommst.

P.S.
Habe mir auch das andere durchgelesen "Fehler beim Basiswechsel", ja könnte ohne zweifel einer aus meinem Kurs sein, leider sehe ich ihn nicht mehr bis zur Abgabe dieser Übung(hydendyden gehört dann auch dazu^^).

02.12.2009, 00:00

tigerbine

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Dann guten Schlaf.

Den Vektor s habe ich durch lösen des LGS berechnet. Wie du das machst, ist mir egal. Gauss geht immer. Augenzwinkern

Wie die Basen zusammengehören kommt auf den Blickwinkel an. B, B' sind in V, C,C' in W. Wir haben eine Matrix bzfl. B,C, suchen eine Matrix bzgl. B',C'.

02.12.2009, 21:25

Matheversteher

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Aso jetzt verstehe ich wie du auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_{11} \\ s_{21} \\ s_{31} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kommst.

Zitat:

Zitat von tigerbine
Wie die Basen zusammengehören kommt auf den Blickwinkel an. B, B' sind in V, C,C' in W.

Ja genau das meinte ich.

Dann frage ich mich aber gerade welcher Vektor bei

Zitat:

Zitat von tigerbine
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 17 &0&16 \\ -25 & 1&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_{11} \\ s_{21} \\ s_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist. Ist das einer der Vektoren aus $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ ?
Berechne ich dann hier eine Matrix zu $\begin{eqnarray*} M_{B}^{B'} \end{eqnarray*}$ ?
Oder was mache ich hier.

Gut habe mir auch das Thema "Fehler beim Basiswechsel" angesehen. Hierbei stelle ich mir gerade die Frage ob da überhaupt $\begin{eqnarray*} M_{B}^{C} \end{eqnarray*}$ verwendet werden darf. Denn es stellt ja nur was von $\begin{eqnarray*} B nach C \end{eqnarray*}$ dar und nicht von $\begin{eqnarray*} B' nach C' \end{eqnarray*}$ . Also ich hätte es so nicht gemacht.

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