Varianten zur Bestimmung von Basen einer Matrix

01.12.2009, 20:46

Physinetz

Varianten zur Bestimmung von Basen einer Matrix

Guten Abend alle miteinand'r.

Folgendes LGS im R3 soll gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x_1+3x_2=0 \end{eqnarray*}$

Habe es umgeformt und bekomme in der erweiterten Koeffizientenmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 &0\\ 0 & 0 & 0 & 0 3.\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Spalte ganz Rechts ist mein "b" , also bei der Form Ax=b

So nun möchte die Lösungen angeben:

Variante 1 ist, dass ich mir einen Parameter t nehme, und z.B. $\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$ setzte und bekomme dann noch heraus: $\begin{eqnarray*} x_1=-t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=t \end{eqnarray*}$

Variante 2:

Andererseits kann ich mir eine spezielle Lösung ausrechnen, z.B.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und hänge dort jetzt einen Einheitsvektor heran, diesen bekomme ich ja wiefolgt bei der obigen erweiterten Koeffizientenmatrix:

Ich unterteile meine Matrix gedanklich in die Einheitsmatrix(ziehe einen senkrechten Strich dannach) und dann habe ich rechts ja noch stehen bei obigem Beispiel, den Spaltenvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Laut Regeln erhalte ich daraus folgenden Basisvektor des LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hefte ich diesen nur an die spezielle Lösung habe ich ja letztlich die gleichen Lösungen (muss ja so sein).

Nun die Frage: Wenn ich Basisvektoren bestimmen soll von einem inhomogenen LGS, welche Variante ist da besser?

Angenommen ich hätte nun noch eine weitere Spalte, z.B. so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 &0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1.Nun müsste ich ja neben t einen weiteren Parameter einführen, richtig?

2.Wäre dann nicht Variante 2 günstiger? Weil wenn ich dann noch mehr Spalten bekäme dann wäre das ja mit den Parametern ziemlich kompliziert?

3.Bei 3 Zeilen bekomme ich doch maximal 3 Basen die den Lösungsraum aufspannen.

Die Dimension vom Lösungsraum ist durch die Zeilen beschränkt, richtig?
Weil wenn ich jetzt bei oberem Beispiel einfach noch 3 Spalten hinzufüge, dann bekäme ich 4 Vektoren (die neben der Einheitsmatrix stehen) , somit also maximal 3 linear abhängige Vektoren.

Hoffe ihr versteht alles was ich meine, vielen Dank für Eure Hilfe

01.12.2009, 22:23

tigerbine

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RE: Varianten zur Bestimmung von Basen einer Matrix
Was soll die Basis einer Matrix sein.... unglücklich

Gib bitte mal den OTon der Aufgabe. Danke.

[Artikel] Basis, Bild und Kern

02.12.2009, 19:27

Physinetz

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Es gibt keinen originale Aufgabe, selber ausgedacht...

Ja mit Base meinte ich die Basis für den Lösungsraum eines homogenen Gleichungssystems.

Jetzt klar?

02.12.2009, 20:42

tigerbine

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Wie das geht steht in dem Artikel.

06.12.2009, 10:29

Physinetz

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Wie das geht ist mir im Prinzip schon klar, nur Speziell hier:

Zitat:

Angenommen ich hätte nun noch eine weitere Spalte, z.B. so: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 &0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1.Nun müsste ich ja neben t einen weiteren Parameter einführen, richtig?

2.Wäre dann nicht Variante 2 günstiger? Weil wenn ich dann noch mehr Spalten bekäme dann wäre das ja mit den Parametern ziemlich kompliziert?

07.12.2009, 11:16

tigerbine

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Ich verstehe nicht, was du tun willst. Ist Spalten anhängen nun eine neue Aufgabe oder Teil deiner Lösungsidee? Der Lösungsraum einer LGS hängt von den Spalten ab. Denn man such mit Ax=0 ja die Urbilder x des Bildes 0. Und die Länge von x ist die Spaltenanzahl von A.

Ich bin vielleicht zu fau, aber ich sehe nicht, warum ich hier nicht Gauss durchziehen sollte, bis die Treppenmatrix erreicht ist. Ferner suchen wir hier den Kern, (homogognes LGS), also einen UVR. Man muss also eine Basis finden und die Parameter stören mich da nun wirkich nicht.

Dein Beispiel
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 &0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Reduziere ich auf, denn ich halte nichts von der erweiterten Koeffizientenmatix. Schon gar nicht, wenn ich ihr nicht ansehen kann (Trennstrich feht), dass es eine solche ist.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann lautet die Lösung

$\begin{eqnarray*} x_4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=-t \end{eqnarray*}$

Das macht zusammen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-t\\t\\t\\0 \end{pmatrix} =t \cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Lösungsraum wird also durch (-1,1,1,0)^T erzeugt.

Deine Idee mit der Ausrechnung einer Speziellen Lösung verstehe ich nicht, gerade wenn der Lösungsraum höher Dimensioniert ist. Wie willst du da vorgehen?

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