lästige Abstandsberechnungen

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OGJ Auf diesen Beitrag antworten »
lästige Abstandsberechnungen
hallo, hab (vorerst) 2 Fragen zu diesem lästigen Kapitel:

1. Abstand zwischen Punkt und Gerade in d. Ebene (R2):

Bsp: P(3/2), g: 2x + y = 4, gut Abstand berechnen mit HNF wär ja nicht schwer!, aber ich brauch auch F (Lotfußpunkt)! Wie soll ich dass machen, ich brauch doch die Parameterform der Geraden. also g: X = A + s .(2/1), aber wie bekomm ich A ?

2. Abstand zw. 2 Geraden:

Können entweder parallel od. windschief zueinander sein, oder?

ich überprüfe das indem ich das Kreuzprodukt der beiden richtungsvektoren nehme? Sind sie parallel, rechne ich wie beim Abstand Punkt-Gerade?

danke im vorraus
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1):
Du brauchst da nicht unbedingt die Parameterform von g. Es reicht die Koordinatenform bzw. ein beliebiger Punkt von g und der Normalvektor auf g.

Zu 2):
Wenn du 2 parallele Geraden im R3 hast, dann gibt es Probleme, den Abstand analog zu 1) zu berechnen, weil du keinen Normalvektor auf eine der Geraden finden kannst bzw. keine Normalvektor um den Abstand zu bestimmen.

Die Abstandsberechnung könnte dann so aussehen: du bestimmst die Orthogonalebene durch den Ursprung. Dann schneidest du diese Ebene mit den beiden Geraden. Der Abstand der Schnittpunkte ist dann der Abstand der Geraden.
OGJ Auf diesen Beitrag antworten »

danke!

d.h., bei 1) würde das so ausschauen:

NV = (2/1), RV = (-1/2)

beliebiger Punkt: P(0/ ) -->P(0/4)

g: X= (0/4) +s . (-1/2) ....(2/1) wäre hier auf alle Fälle falsch oder?

h: X = (3/2) + t (2/1)

....usw.

ja passt kommt das selbe raus wie mit HNF, sollte also stimmen!

gibt es denn noch eine möglichkeit das ding auszurechnen?

wenn ich es mit Winkelfunktionen ausrechne kann ich auch immer einen beliebigen Punkt verwenden, oder ?


2. das mit den Parallelen im r3 muss ich mir noch mal anschauen, bilck da nicht ganz durch

danke
OGJ Auf diesen Beitrag antworten »

aja was meinst du mit Koordinatenform?
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Die Koordinatenform einer Geraden in R2 sieht folgendermaßen aus:


Zitat:

gibt es denn noch eine möglichkeit das ding auszurechnen?

wenn ich es mit Winkelfunktionen ausrechne kann ich auch immer einen beliebigen Punkt verwenden, oder ?

Ich kenne da keine weitere Möglichkeit. Wie du das mit Winkelfunktionen machen willst, ist mir schleierhaft.
OGJ Auf diesen Beitrag antworten »

ja war blöde Frage mit den Winkelfunktionen, meine mit skalarem produkt. und hat sich eh erübrigt, weil natürlich kann ich das mit einem beliebigen Punkt machen.
Bin grad dabei diese Abstandsbeispiele auf alle möglichen Arten zu rechnen.
 
 
OGJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich kapiere das mit dem Abstand zwischen 2 Geraden nicht!
folgendes Bsp:





so, mit skalarem Produkt schaff ich es d= 5,308

aber wie geht es mit HNF, blick da nicht ganz durch obwohl es einige Postings gibt.

soweit komm ich: ich stelle Ebenengleichung auf mit NV und einem Punkt (angenommen von g), dann setze ich h ein und erhalte F, ABER WIE GEHT ES WEITER!?


Bitte um Hilfe!
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Ebene durch den Punkt mit h geschnitten und somit den Punkt errechnet hast, dann musst du ja nur noch den Abstand dieser beider Punkte voneinander berechnen. Dann hast du den Abstand der beiden Geraden. Das geht deshalb, weil der Richtungsvektor normal auf beide Geraden steht und der Abstand des Richtungsvektor somit dem Abstand der Geraden entspricht.

P.S.: Mich würde interessieren, wie du da mit dem Skalaprodukt gerechnet hast.
OGJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, warum einfach wenns auch kompliziert geht, danke!
Mich haben meine aufzeichnugen ein bisschen verwirrt, da steht das ur umständlich!

so mit skalarem produkt schaut das so aus:

du stellst Vektor der beiden Punkte der geraden also von und auf. ich nenn sie jetzt mal A und B, also vektor und machst mit diesem und dem RV der beiden Geraden das skalare produkt. somit bekommst du

ja gut und jetzt hast du ein rechtwinkeliges Dreieck und rechnest dir mit der Strecke (Hypotenuse) und sin die Gegenkathete also d aus

vertändlich ausgedrückt und mit Bild siehe hier: Abstand Gerade-Punkt

ja gut ich glaub das Kapitel hab ich abgeschlossen, hab jetzt Abstand zwischen:

Punkt und Geraden in r2 und r3, 2er Geraden in r2 und r3,Punkt und Ebene, Gerade und Eben und 2 Ebenen ausgerechnet! Zwischen 2 windschiefen Geraden is mir zu kompliziert

mfg OGJ
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso. Idee! Wieder was dazugelernt.
Aber die Situation mit den 2 windschiefen Geraden ist auch nicht wirklich kompliziert. Wirf mal die Boardsuche an, dort findest du viele Threads mit anschaulichen Lösungen, z.B. nur mit den 2 Richtungsvektoren der Geraden und einem beliebigen Punkt etc.
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