Dualraum

Neue Frage »

02.12.2009, 16:37	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraum Folgende Aufgabe und ich weiß nicht, wie ich anfangen soll... Es sei V ein Vektorraum über K . Ferner sei B = {b1,..., bn} sei eine Basis von V. Fasst man K als Vektorraum über K auf, so wird auf der Menge V* = { f / f: V->K } (linear) durch... und dann ist im folgenden die Multiplikation und die Addition angegeben, damit V* zu einem Vektorraum über K wird... nun soll ich beweisen, dass dim k (V) = dim k (V) ist... muss ich jetzt die dim von V berechnen und dann eine Basis von V finden, um dann die dim von V* zu berechnen? Ahhhhh.... :-)
02.12.2009, 16:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualraum Hi katastrophenkopf, Die Dimension von V sollte eigentlich keine Probleme bereiten - eine Basis ist ja schon gegeben. Jetzt musst Du eben noch eine Basis von V* finden. Dazu ist es hilfreich, wenn man sich überlegt, dass die Abbildungen aus V* durch die Bilder der Basisvektoren b1,...,bn eindeutig definiert sind. Gruß, Reksilat.
02.12.2009, 18:37	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualraum oh mann, ich finde heute keinen Anfang... ist wie verhext... wenn B = b1,...bn als Basis definiert ist... setze ich bereits voraus, dass B lin. unabh. und ein Erzeugendensystem ist (sonst wärs ja keine Basis), und die Anzahl der Elemente von B wäre ja die dimension, richtig? aber ist die dim = n oder wie ? ach, heute ist nicht mein tag
02.12.2009, 20:21	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualraum Richtig, dim(V)=n.
03.12.2009, 14:10	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualraum Gut, neuer Tag... neues Glück... ich häng ziemlich fest... komm nicht auf eine Basis von V... ich hab nun im Buch nachgesehen und bin nun endgültig aufgeschmissen... die Basis B= { b1,...bn} hätte demnach eine duale Basis B ={lambda 11,...,lambda n1}... aber wieso versteh ich nicht, vor allen dingen weiß ich nicht, was ich damit soll
03.12.2009, 14:28	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualraum Machen wir doch einfach mal ein Beispiel: $\begin{eqnarray} V=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V^=\{\alpha:V\to \mathbb{R}\|\alpha\text{ linear}\} \end{eqnarray}$ Wie oben gesagt, lassen sich diese linearen Abbildungen dadurch beschreiben, dass man die Bilder einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ angibt. Wie sehen die Abbildungen aus $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ deshalb allgemein aus? Wir nehmen uns nun drei Abbildungen aus $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ wie folgt: $\begin{eqnarray} \alpha_1(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}):=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha_2(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}):=x+y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha_3(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}):=3x+2y \end{eqnarray}$ Überlege Dir nun, ob diese drei Abbildungen linear abhängig sind. D.h.: gibt es nichttriviale $\begin{eqnarray} \lambda_i\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \lambda_1\cdot\alpha_1+\lambda_2\cdot\alpha_2+ \lambda_3 \cdot\alpha_3=0 \end{eqnarray*}$ (die Nullabbildung)? Gruß, Reksilat.
Anzeige

03.12.2009, 14:59	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualraum nein, die gibt es nicht.... demnach sind die abbildungen linear unabhängig...
03.12.2009, 15:05	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Du einfach geraten oder was rechnest Du? Es ist doch zum Beispiel $\begin{eqnarray} \alpha_3=\alpha_1+2\alpha_2 \end{eqnarray}$ Hast Du denn mal versucht, Dir eine Vorstellung von $\begin{eqnarray} V^ \end{eqnarray*}$ zu verschaffen? Wie sehen allgemein die Abbildungen aus?
03.12.2009, 16:37	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
ich lese und lese und grübel und grübel... da K ja noch mal als ein eigener Vektorraum aufgefasst wird... brauch ich da nicht auch eine Basis von K?
03.12.2009, 19:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du K als K-VR auffasst, so hat K die Dimension 1. Das Element 1 ist zum Beispiel ein Erzeuger, eine Basis wäre also {1}. V* besteht eben aus Abbildungen aus einem n-dimensionalen K-VR in einen 1-dimensionalen K-VR.
03.12.2009, 20:27	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
hm...gut... die Basis von V* ist definiert durch die Bilder der Basisvektoren b1,...,bn. so war das doch, oder? dann wäre das doch f1(b1),...,fn(n) ? aber wie beweis ich nun, dass die dimV = dimV* ist? meine Überlegung dazu ist gerade... B und B* (also Basis und duale Basis) gleichzusetzen und dann zu zeigen, dass beide gleich null sind , um die lineare unabhängigkeit zu beweisen... bin ich damit auf dem holzweg?
03.12.2009, 21:01	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, damit bist Du auf dem Holzweg, denn B und B* beinhalten verschiedene Arten von Elementen. Die kann man nicht gleichsetzen. Außerdem sind das Mengen, die können nicht null sein. Oben sagte ich zudem NICHT, dass die Basis B* durch die Bilder der Basisvektoren von V definiert sei. Dies gilt eben nur die Elemente von V. Sei $\begin{eqnarray} f\in V^* \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Abbildung von V nach K. Sei jetzt $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray} f(v) \end{eqnarray}$ ? Nun, $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ lässt sich schreiben als: $\begin{eqnarray} v=\sum_{i=1}^n\mu_ib_i \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mu_i\in K \end{eqnarray}$ . Per Linearität ist also $\begin{eqnarray} f(v)=\sum_{i=1}^n\mu_if(b_i) \end{eqnarray}$ Man muss also nur die Bilder der Basisvektoren kennen, um die Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eindeutig zu beschreiben. Im Beispiel oben, kann man als Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ zum Beispiel die Standardbasis wählen. Damit wäre dann: $\begin{eqnarray} \alpha_1(b_1)=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha_1(b_2)=0 \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} \alpha_3(b_1)=3 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha_3(b_2)=2 \end{eqnarray}$ Auf diese Weise kann man alle Abbildungen aus V beschreiben, die Frage ist nun, welche Abbildungen so sind, dass man alle anderen Abbildungen aus V* mit ihnen konstruieren kann.

Neue Frage »

Antworten »

Dualraum

Verwandte Themen