Beweis mit eulerscher Funktion

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imag Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit eulerscher Funktion
Hallo
Will folgendes beweisen:
Zeige folgende Eigenschaft der Eulerischen Funktion :
Es gilt und
Also liegt das zwischen 0 und 1. Und bei der ersten Behauptung ist 0 doch der kleinste Häufungspunkt. Wenn ich jetzt eine Teilfolge finden würde, die gegen 0 konvergiert könnte ich doch etwas damit anfangen oder? Aber da hört es auch irgendwie auf und ich komme nicht weiter. Finde keine Teilfolge und weiß nicht wie ich das ausführen soll. Kann mir da jemand weiterhelfen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm das Produkt der ersten Primzahlen, also

.
imag Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit eulerscher Funktion
Danke für die Antwort. Also müsste ich dann zeigen, dass

Ich habe mir dann überlegt wie ich das zeigen könnte und hab über legt was ist. Ich bin aber nur soweit gekommen, dass ist. Kann ich da überhaupt eine nähere Aussage darüber machen? Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg das zu beweisen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas mehr solltest du dir schon überlegen: Es ist



und folglich



Das Produkt rechts kann man nun nach unten gegen die Summe abschätzen (warum?), und die divergiert für bestimmt gegen ...
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Danke das hilft mir weiter. Habe nur eine allgemeine Frage dazu: Warum benutze ich jetzt
und nicht und soll zeigen dass der 1. Bruch gegen unendlich geht? Ich müsste doch eigentlich zeigen dass der 2. Bruch gegen 0 geht. Oder kann ich dass dann irgendwie folgern?
Davon abgesehen kann ich das "!" mit der geometrischen Reihe begründen. Bei der Abschätzung nach unten bin ich noch etwas am grübeln warum das geht. aber versuche es noch.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von imag
Warum benutze ich jetzt
und nicht und soll zeigen dass der 1. Bruch gegen unendlich geht?

Für positive Folgen besteht offensichtlich die Äquivalenz

.

Und beim obigen Weg ist es nun mal technisch günstiger, das Reziproke zu nehmen - das wirst du verstehen, wenn du die angesprochene letzte Abschätzung wirklich (!) verstehst.

Zitat:
Original von imag
Ich müsste doch eigentlich zeigen dass der 2. Bruch gegen 0 geht. Oder kann ich dass dann irgendwie folgern?

Richtig.
 
 
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Ok den Hintergrund der ganzen Sache habe ich jetzt soweit verstanden. Danke. Aber diese Abschätzung macht mir wirklich Probleme. Ich finde einfach kein Argument warum das so ist. Sie müsste doch so aussehen oder?

Könnte ich vielleicht noch einen Tipp zur Erklärung dieser Abschätzung bekommen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich das Produkt mal etwas genauer anschaut, kommt man drauf:

Zu jeder Primzahl von bis wird die Summe

gebildet.

Alle diese Summen werden multipliziert. Multipliziert man aus, erhält man wieder eine Summe.

Nun nimm dir mal zu die Zahl .
Es ist , wobei hier die Primfaktorzerlegung von m ist, die natürlich nur Primzahlen kleinergleich enthalten kann.

Dieses Produkt kommt aber sicher in der ausmultiplizierten Form von genau einmal vor.
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Habe es auch gut verstanden, bin mir nur nicht ganz sicher ob ich den Schluss auch richtig gefolgert habe.
Also, da ich diese s aufsummiere (das wäre dann dieser Teil) (also bis ) und in meinem anderen Produkt diese Summe bis unendlich geht, ist

habe ich das so richtig verstanden?
Damit hätte ich ja jetzt den ersten Teil meiner Aufgabe gelöst oder? Jetzt fehlt mir noch die Begründung warum der limsup =1 ist. Also müsste ich ja wieder eine Folge finden die für n gegen unendlich gegen 1 läuft oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von imag
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Habe es auch gut verstanden, bin mir nur nicht ganz sicher ob ich den Schluss auch richtig gefolgert habe.
Also, da ich diese s aufsummiere (das wäre dann dieser Teil) (also bis ) und in meinem anderen Produkt diese Summe bis unendlich geht, ist

habe ich das so richtig verstanden?

Nicht ganz. Dass die Summe bis unendlich geht, hilft nur bei der Schlussfolgerung, dass wirklich jeder Exponent, der bei der Primfaktorzerlegung von m bei irgendeiner Primzahl auftreten kann, auch in dem Produkt auftritt.

Für die Abschätzung würde es eigentlich auch reichen, wenn die Summe bis geht, da dies der höchste Exponent ist, der in der Primfaktorzerlgung einer Zahl nicht größer als auftreten kann.


Zitat:
Original von imag
Damit hätte ich ja jetzt den ersten Teil meiner Aufgabe gelöst oder? Jetzt fehlt mir noch die Begründung warum der limsup =1 ist. Also müsste ich ja wieder eine Folge finden die für n gegen unendlich gegen 1 läuft oder?


Der zweite Teil ist deutlich einfacher. Schließlich gilt .
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Also den 2. Teil würde ich dann so machen:

Stimmt das?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt, sofern der Grenzübergang nur die Teilfolge der Primzahlen beinhaltet (was du durch das wohl ausgedrückt hast Augenzwinkern ).


Ich komme nochmal auf den ersten Teil zurück. tmo hat es schon angesprochen, ich nenne nochmal gerafft den "wasserdichten" Weg: Für festes sei mit gewählt, also etwa . Dann ist

,

wobei alle positiven ganzen Zahlen umfasst, deren Primfaktorzerlegung nur Primzahlen enthält, und jeden dieser Primfaktoren zudem maximal in Potenz . Es sind genau Zahlen in enthalten, darunter sind dann natürlich insbesondere alle positiven ganzen Zahlen , womit die obige Abschätzung bewiesen ist.
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für diese weitere Erklärung. Zum 2. Teil: Also müsste ich mein p noch so definieren: Also eine Teilfolge von Primzahlen.
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