Basis eines Untervektorraums

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Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines Untervektorraums
Hallo,
die Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass die Menge S aller symmetrischen Matrizen ein UVR von IR^(n x n) [n x n = n Kreuz n] ist, und geben Sie eine Basis von S an!
Ich habe schon gezeigt, dass es ein UVR ist, aber wie soll das mit der Basis funktionieren? Da brauche ich bitte dringend einen Tipp, Ansatz, eine Erklärung (was ist denn eine Basis in Bezug auf eine Menge von Matrizen zum Beispiel?)

Das gleiche sollen wir übrigens auch mit der Menge T aller schiefsymmetrischen Matrizen machen und am Ende noch beweisen, dass IR^(n x n) = S [direkte Summe] T... Dass S und T eine direkte Summe bilden, weil ihr Durchschnitt nur 0 ist, seh ich ein, aber wie kann man denn beweisen, dass sich alle quadratischen Matrizen aus symmetrischen und schiefsymmetrischen Matrizen "bauen" lassen? Hier wäre also auch noch ein Hinweis nötig!=)

Danke schonmal, lieben Gruß!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
Denk dir eine möglichst einfache Basis aus. Muss ja alles schön symmetrisch sein. Augenzwinkern

Genauso geht das mit den schiefsymmetischen.

Nun bestimme die Dimension der von den beiden Typen erzeugten Räume. Welche Matrix ist schiefsymm und Symmetrisch (Es gibt nur eine). Was folgt damit für die beiden Räume?
 
 
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
Ja, aber was ist denn eine Basis eigentlich? Ich muss jetzt einfach mal beim Urschleim anfangen... Ist das im Prinzip auch eine Matrix, oder was ist es?
Die Matrix, die sowohl symmetrisch als schiefsymmetrisch ist, wird wohl eine sein, die außer der Hauptdiagonalen nur Nullen hat. Aber wie gesagt, außer der Hauptdiagonalen. Die Diagonale kann ja beliebig aussehen, wieso gibt es dann nur eine? (wie du geschrieben hast)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
Es gibt nur eine,weil die Diagonale eben nicht beliebig aussehen kann. Definitionen genau lesen.

Schlag halt nach was eine Basis ist. Augenzwinkern Ein Linear unabhängiges Erzeugendensystem. Da wir hier einen VR betrachten, dessen Elemente (Vektoren!) Matrizen sind, suchen wir eben eine Basis aus Matrizen also linear unabhängige Matrizen die den Raum erzeugen.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
In meinem Skript steht: "Eine Matrix A mit A^T=A heißt symmetrisch." Was ist denn T?
drunter ist ein Beispiel für eine symm. Matrix zu finden, nämlich:
(1 2 3)
(2 4 5)
(3 5 6)
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
ach so, für transponiert...
aber auch bei wikipedia steht: "Es handelt sich dabei um eine Matrix, die bei Austausch der Indizes (gleichbedeutend mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich selbst übergeht." Und welche Werte die "Spiegelachse" hat, ist doch beliebig, oder nich?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
Aber wie ist denn schiefsymmetrisch definiert. unglücklich
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
A^T=-A, das heißt die Hauptdiagonale muss 0 sein... also ist nur die Nullmatrix symm. und schiefsymm.!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
eben. Nun bestimmt mal die Dimension von V und die Dimension der beiden UVR. Was fällt auf?
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
wie bestimmt man denn die Dimension?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
Mit der Basis des V. Was weißt du denn üner den VR der nxn Matrizen? Ansonsten Skript, Boardsuche....
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
im Skript steht als Beispiel: dimK^(m x n) = mn
Sind dann die Dimensionen von V und den beiden UVR nn?
aber hier steht auch, dass wenn die Dimension von V und seinem UVR U gleich sind, dann auch U=V. Aber das kann in meiner Aufgabe doch nicht hinhauen...?! verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
Dann ist die Dim von V wohl n². Wo habe ich denn behaputet, dass das auch für die UVR gilt. unglücklich Deren Basen sollst du nun ja (endlich) mal bestimmen. Augenzwinkern
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
Besteht die Basis für die Menge T aller schiefsymmetrischen Matrizen aus zB IR^(3x3) aus diesen 3 Matrizen?:
(0 1 0)
(-1 0 0)
(0 0 0)

(0 0 1)
(0 0 0)
(-1 0 0)

(0 0 0)
(0 0 1)
(-1 0 0)

Wenn ja, dann bräuchte ich für die Basis einer symmetrischen Matrix des Formats 3x3 sechs Matrizen, bei 4x4 zehn Matrizen, oder?

Und wenn das jetzt alles stimmt: Wie schreibt man das allgemein für nxn auf?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraums
Ist doch schon mal eine Idee mit den Paarungen. Dass diese Matrizen lu sind, ist einfach, denn es sind ja nur unterschiedliche Einträge von Null verschieden. Aso kann man das nur trivial zur Nullmatrix kombinieren. Schiefsymmetrisch ist die Summe wohl auch. Die Diagonale muss frei bleiben. Die Paarung muss vorkommen, das ist der Tribut an die Schiefsymmetrie. Und da alle Felder belegt wurden, ist das auch eine Basis. Man kann ja jede Schiefsymmetrische Matrix als LK dieser Matrizen schreiben.

Denke dir eine einfache Basis der Raums der nxn-Matrizen aus. Hier belegt man am Besten jeden Eintrag einzeln(mit einer 1) Das ist sicherlich lu und man bekommt durch LK jede beliebe nxnx Matrix. Es gibt n² solcher Matrizen. Die Anzahl teilen wir nun auf.

Du hast gesehen, du musst nur einen Eintrag oberhalt der Diagonalen festlegen, dann weißt du schon, wie deine Basismatrix für Scheifsyymetrische aussieht. Da gibt es wie viele von?

Mit dem Paarungsprinzip bekommt du auch Basisvektoren der Symmetrischen Matrizen. Wie viele?

Was fehlt nun noch? Diagonalmatrizen. Die kann man mit n Matrizen erzeugen. Diagonalmatrizen sind aber auch symmetrische Matizen.

Zähl nun mal zusammen, Es kommt wieder n² raus. Mit dem Wissen, dass nur die Nullmatrix Symmetrisch und Schiefsymmetrisch ist, haben wir also eine Basis des Raums der nxn Matrizen gefunden, bestehend aus den Basen der Symmetrischen und der Schiefsymmetrischen Matrizen.
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