isomorphismus

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03.12.2009, 14:37	pitti	Auf diesen Beitrag antworten »
isomorphismus Hallo zusammen, folgende Aufgabe Wir sollen zeigen,dass die Gruppen Z/2Z x Z/2Z und Z/4Z nicht isomorph sind. Also prinzipiell kenne ich ja die Antwort schon,beide Gruppen müssen die Ordnung 4 haben, Z/2Z x Z/2Z hat aber bis auf das neutrale Element nur die Ordnung 2. Aber ich kann das irgendwie nicht nachvollziehen,wie komme ich denn überhaupt darauf,dass Z/2Z x Z/2Z nur die Ordnung zwei hat und Z/4Z die Ordnung 4.Ist sicher ne total dumme Frage,aber kann mir mal bitte jemand erklären,wie das mit der Ordnungssache funktioniert? Danke schonmal im Voraus..
03.12.2009, 17:47	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide Gruppen haben die Ordnung 4, d.h., 4 Elemente.. In dieser Hinsicht sind sie gleich... Wohl aber gibt es in der einen Gruppe Elemente der Ordnung 4, in der anderen nicht... Bei einer bloßen Umbezeichnung der Elemente - eine solche ist ja jeder Isomorphismus im wesentlichen - wäre aber die maximale Ordnung von Elementen sicher eine Invariante...
03.12.2009, 19:36	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Mystic: wäre es möglich dass du es noch ein bisschen genauer erklärst? Ich sehe nur dass die beide eine Ordnung 4 haben. Aber wie kommt man darauf dass in der einen Gruppe Elemente der Ordnung 4 vorhanden sind und in der anderen nicht? Edit: Setzt ihr Ordnung mit Mächtigkeit gleich? Ich habe die Aufgabe anders gelöst. Ich habe angenommen dass die Abbildung Z/4Z -> Z/2Z x Z/2Z bijektiv und gezeigt dass sie dann nicht Homomorphismus sein kann. Kann man auch so vorgehen oder ist der Gedanke vollkommen falsch?
03.12.2009, 19:53	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Ordnung einer endlichen Gruppe ist einfach die Anzahl ihrer Elemente... Und ja, der einfachste Zugang zu dem Beispiel geht über die Ordnung der Elemente, d.i. die Ordnung der von ihnen erzeugten Untergruppen... Diese Ordnungen solltest du mal für sämtliche Elemente der beiden Gruppen berechnen und dann einfach gegenüberstellen...
03.12.2009, 19:56	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie berechnet man die Ordnung für die Elemente? Tut mir leid aber das ist mir vollkommen neu
03.12.2009, 20:03	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
die Beiden Gruppen sind abelsch. Vereinfacht es dir ganze Sache ein wenig?
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03.12.2009, 20:24	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was heißt es wenn die Gruppen zwar die gleiche Gruppenordnung haben aber die Elemente eine unterschdl. Elementenordnung???
03.12.2009, 21:51	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ordnung eines Gruppenelements g ist die Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe $\begin{eqnarray} <g>:=\{g^k\|k \in \mathbb Z\} \end{eqnarray}$ Da es sich hier um endliche Gruppen handelt, brauchst du nur die verschiedenen Potenzen $\begin{eqnarray} g^0,g^1,g^2,\ldots \end{eqnarray}$ Potenzen berechnen, solange bis eine erste Wiederholung auftritt... Ist dann $\begin{eqnarray} g^t \end{eqnarray}$ das erste sich wiederholende Element, so muss dann $\begin{eqnarray} g^t =g^0=e \end{eqnarray}$ sein, wobei e das Einselement der Gruppe ist... Alternativ kannst daher sagen, dass die Ordnung ord(g) des Gruppenelemengts einfach die kleinste positive Hochzahl t ist, für welche obige Gleichung gilt... Zum Beispiel ergeben sich für die Ordnungen in $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_4,+) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} ord(0)=1, \ ord(1)=4, \ ord(2)=2, \ ord(3)=4,\ldots \end{eqnarray}$
03.12.2009, 22:40	ankasztaj	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: isomorphismus ok, vielen dank

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