Konvergenz von Reihen

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Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen
Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren.

1)

2)

3)


Zu 1):

Wenn eine Reihe monoton und beschränkt ist, dann ist sie doch auch konvergent, kann ich auf diese Art entscheiden ob die Reihe konvergiert?

Zeigen, dass sie monoton fallend ist:


Oder ist dieser Weg falsch?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

LG Jenny

LaTeX-Tags ergänzt by IfindU
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

divergiert, während konvegiert.

Das wird also nicht reichen. Welche Konvergenzkriterien kennst du denn?
Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenn das Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Minoranten- und Majorantenkriterium.

Also da meine Vermutung ist, dass




kann man vielleicht das Quotientenkriterium anwenden?!

Dann wäre



Wenn q < 1 ist, ist {an} konvergent.

Stimmt das so?
Wie geht man nun weiter vor?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde erstmal empfehlen wenn du eine Vermutung hast ob es divergiert oder konvegiert. Schau dir die 2 die ich geschrieben an und sag mal an ob es dich mehr ans erste oder zweite erinnert.
Denn die Summierung über 1/n in meinem Beispiel führte zur Divergenz, auch wenn das Quotientenkriterium eine Zahl kleiner 1 liefert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jennn89


Wenn q < 1 ist, ist {an} konvergent.

Da hast du das Quotientenkriterium falsch verstanden. Das q darf nicht von n abhängig sein, sondern ist eine feste Zahl < 1. Die Ungleichung muß dann für alle n (bis auf endlich viele Ausnahmen) erfüllt sein.

Im übrigen ist dann nicht nur die Folge (a_n) konvergent, sondern auch und vor allem die Summe darüber.
Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würd sagen, dass sie mich eher an

erinnert.

Aber ich habe wirklich keine Ahnung wie ich das machen kann.

Ich hoffe mir kann jemand erklären wie das geht?!

Lg Jenny
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen
Dann rechne mal für n=1000000 die Terme , und aus. Welche Ergebnisse sind nah beieinander?
Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Für n=1000000

liegen die Ergbnisse von beieinander.

ist divergent.

Vielleicht kann ich die Reihe als divergente Minorante nehmen?
Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »



Dann komme ich auf



Heißt das, dass die Reihe ab
divergiert?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Reihe divergiert nicht ab einem gewissen Index Augenzwinkern

Das heißt, dass die Folge, über die du summierst, für n>=1 eben größer ist als 1/n. Das ist "von Anfang an".
Also ist jede Partialsumme größer als die entspr. Partialsumme der harmonischen Reihe.

Und da die harm. Reihe im Unendlichen divergiert und deine Folge größer ist, muss sie also auch divergieren (Minorantenkriterium).

air
Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön Airblader für die schnelle Antwort.

Ich habe noch eine Frage:



Kann ich diese Abschätzung machen?
Das wäre ja dann das Majorantenkriterium, weil ich eine konvergente Majorante habe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die 1. Ungleichung stimmt, mußt du aber noch genauer begründen.
Die 2. Ungleichung ist falsch, wie du leicht für n=4 nachrechnest.

Tipp: Ich würde vor einer Abschätzung den Bruch mit erweitern. Dann tust du dich mit einer konvergenten Majorante etwas leichter. Augenzwinkern
Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Achja klar...

Das stimmt oder?

Aber meine konvergente Majorante ist weiterhin


Und da
konvergiert, konvergiert auch


Oder bin ich immer noch auf dem Holzweg?!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast zu großzügig abgeschätzt und bist wieder bei etwas was nicht so leicht zu beweisen ist.

Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort smile








0<1

Also ist das die konvergente Majorante?
Kannst du mir vielleicht sagen was ich nun noch genau zeigen muss?
Möchte das einmal richtig verstanden haben!
Dankeschön Augenzwinkern

LG Jenny

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann doch auf beiden Seiten - machen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte nicht bei deinen vielen Umformungen, sondern bei der Summe die ich abgeschätzt habe. Mit 1 maximal 2 Schritten mehr hat man seine Reihe schön umgeschrieben um die Konvergenz zu sehen.
Jennn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich verstehe.

Danke IfindU, für deine hilfe smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jennn89


Die Abschätzung ist falsch, wie man leicht für n=100 nachrechnet.

Und bitte vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode. Das sieht ja teilweise fürchterlich aus.
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