Endlich erzeugte Körpereweiterung

03.12.2009, 15:24

schmouk

Endlich erzeugte Körpereweiterung

Hallo,

folgende aufgabe ist zu bearbeiten,

Sei $\begin{eqnarray*} char (K)\neq 2 \end{eqnarray*}$ seine $\begin{eqnarray*} a,b\in K^* \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} a,b,ab \end{eqnarray*}$ Nichtquadrate in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind

Zeige $\begin{eqnarray*} K(\sqrt{a},\sqrt{b})=K(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K(\sqrt{a}+\sqrt{b})\subset K(\sqrt{a},\sqrt{b}) \end{eqnarray*}$ wollte ich zeigen, indem ich sage
$\begin{eqnarray*} K(\sqrt{a},\sqrt{b})=K(\sqrt{a})(\sqrt{b})=\{o+u\sqrt{b} :o,u\in K(\sqrt{A})\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\{x+y\sqrt{a}+(x'+y'\sqrt{a})\sqrt{b} :x,x',y,y'\in K\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\{x+y\sqrt{a}+x'\sqrt{b}+y'\sqrt{ab} :x,x',y,y'\in K\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda\in K(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\lambda=x+y(\sqrt{a}+\sqrt{b})=x+y\sqrt{a}+y\sqrt{b}+0\cdot\sqrt{ab}) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} x,y,0\in K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lambda\in K(\sqrt{a},\sqrt{b}) \end{eqnarray*}$

Das wäre mein Ansatz, weiß nicht, ob man das so machen kann.

Bei der Rückrichtung bin ich völlig ahnungslos. kann mir da jemand helfen?

03.12.2009, 15:50

therisen

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Hallo! Die eine Richtung ist trivial und für die andere verwende, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt a-\sqrt b =\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sqrt a = \frac{\sqrt a+\sqrt b}2+\frac{\sqrt a-\sqrt b}2 \end{eqnarray*}$

Analog für $\begin{eqnarray*} \sqrt b \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

03.12.2009, 16:12

schmouk

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Hi, danke für die schnelle Antwort.

Ist mein Versuch die triviale Richtung zu zeigen denn erfolgreich gewesen?

smile

schmouk

03.12.2009, 18:34

therisen

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RE: Endlich erzeugte Körpereweiterung

Zitat:

Original von schmouk
$\begin{eqnarray*} K(\sqrt{a})(\sqrt{b})=\{o+u\sqrt{b} :o,u\in K(\sqrt{A})\} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht klar würde ich sagen. Viel einfacher:

$\begin{eqnarray*} K(\sqrt a+\sqrt b) \end{eqnarray*}$ ist der kleinste Oberkörper von K, der das Element $\begin{eqnarray*} \sqrt a+\sqrt b \end{eqnarray*}$ enthält. $\begin{eqnarray*} K(\sqrt a,\sqrt b) \end{eqnarray*}$ ist ein Oberkörper von K, der $\begin{eqnarray*} \sqrt a+\sqrt b \end{eqnarray*}$ enthält. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} K(\sqrt a+\sqrt b)\subseteq K(\sqrt a,\sqrt b) \end{eqnarray*}$ .

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