Inverse Matrix beweisen

03.12.2009, 16:27

pizzaschachtel

Inverse Matrix beweisen

Hallo, wir haben folgende Aufgabe bekommen.
[attach]12367[/attach]

Jetzt habe ich mir folgendes überlegt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e&f \\ g&h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das heißt nach der Multiplikation:
$\begin{eqnarray*} ab+cf=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} be+df=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ag+ch=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bg+hd=1 \end{eqnarray*}$

Das sind aber 4 Gleichungen mit 8 unbekannten. Also kann ich sicherlich etwas parametrisieren. Nur nützt das mit meinen Gedanken auch nicht weiter voranzukommen. Deshalb möchte ich euch fragen, ob ihr mir einen Tipp geben könnt, wie ich beweisen kann, dass $\begin{eqnarray*} ad-bc \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Weiß da absolut nicht wie ich das nun weiter machen soll.

Würde mich um Hilfe freuen. Danke

03.12.2009, 16:34

howdy

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Überleg erstmal, welche Voraussetzungen an eine Matrix geknüpft sind, damit diese invertierbar ist.

03.12.2009, 16:45

pizzaschachtel

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Da gibt es viele Eigenschaften.

Willst du vielleicht darauf hinaus, dass die Determinante nicht 0 sein darf? Also

$\begin{eqnarray*} ad-bc=k \end{eqnarray*}$ verwirrt

Das wäre ja dann zumindestens die richtige Lösung Big Laugh

Danke schon mal.
Um jetzt den anderen Teil zu beweisen:
Reicht es da, dann einfach
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zu lösen und zu beweisen, dass Id rauskommt?

03.12.2009, 16:47

Kopfrechner

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...
Das heißt nach der Multiplikation:
1. $\begin{eqnarray*} ae+cf=1 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} be+df=0 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} ag+ch=0 \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} bg+hd=1 \end{eqnarray*}$

Das sind 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, denn a,b,c,d sind vorgegeben!

Mögliche Lösungsschritte:
Kombiniere 1. 2. so, dass e herausfällt, das gibt die Lösung für f
Kombiniere 1. 2. so, dass f herausfällt, das gibt die Lösung für e
...

Bei der Rechnung wird sich zeigen, dass diese Lösungen nur existieren, wenn a,b,c,d besondere Bedingungen erfüllen. (das steckt gerade die Determinante drin)

Gruß, Kopfrechner

03.12.2009, 16:55

pizzaschachtel

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Super, hat mir sehr geholfen smile

Um jetzt den anderen Teil zu beweisen:
Reicht es da, dann einfach
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zu lösen und zu zeigen, dass Id rauskommt?

03.12.2009, 17:04

Kopfrechner

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Zitat:

Original von pizzaschachtel
Um jetzt den anderen Teil zu beweisen:
Reicht es da, dann einfach
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zu lösen und zu zeigen, dass Id rauskommt?

Das hängt von der Intention des Aufgabenstellers ab: Wenn die Multiplikation E ergibt, ist gezeigt, dass die inverse Matrix vorliegt. Vielleicht sollen die Werte von A^-1 aber berechnet werden (aus den Gleichungen) und die gegebenen Werte dienen nur zur Kontrolle ...

Berechne doch die inversen Matrixelemente selbst, dann hast du beides gemacht, frei nach Werner: Besser is' das ...

03.12.2009, 17:12

pizzaschachtel

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Okay, danke.
Dann berechne ich nun einfach die Inverse MAtrix und zeige dass dann damit.

Danke, kam nur an den Punkt mir dem Gleichungssystem nicht weiter^^

03.12.2009, 18:37

Betzi

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Ich bin bei der Aufgabe ganz anders rangegangen als du.

Hab mir unseren Satz 15 genommen, kannst du mal vergleichen und hab gezeigt, dass sie eine Inverse hat, wenn sie eine (nxn) Matrix ist (hier n=2 , erfüllt) und die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
Prüf mal die lineare Unabhängigkeit und schau dir was dir das Ergebnis sagt. invertierbar --> ad-bc $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0

Dann natürlich noch die Rückrichtung betrachten. Wenn ad-bc $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 --> invertierbar

Ja und die Inverse Matrix kannst du ja einfach über den Gauß-Jordan bestimmen.

(Determinante solltest du noch nicht verwenden, da wir sie noch nicht in der Vorlesung behandelt haben)

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