Ertragsgesetzliche Kostenfunktion (Scharfunktion)

03.12.2009, 19:59

Whats-that

Ertragsgesetzliche Kostenfunktion (Scharfunktion)

Ermitteln Sie, für welche positiven Zahlen anstelle von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist.

Die Kostenfunktion ist: $\begin{eqnarray*} K(x)=x^{3}-ax^{2}+50x+80 \end{eqnarray*}$

Den Ansatz weiß ich: Man muss $\begin{eqnarray*} K'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ rechnen.
Aber bei ausrechnen komm ich nicht weiter. Meine Einzige Idee war Nullstellenberechnung aber da bekam ich kein brauchbares Ergebnis vll hab ich mich auch nur verrechnet.

Danke im vorraus

03.12.2009, 21:11

Whats-that

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kann mir denn niemand helfen ? ich muss das bis morgen fertig haben ...

03.12.2009, 21:27

Q-fLaDeN

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Da ich nicht weiss, ob der Ansatz $\begin{eqnarray*} K'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ richtig ist, glaub ich dir jetzt mal, dass man das so machen muss.

Bestimme doch erstmal die Ableitungsfunktion. Anschließend die Nullstellenbestimmung war ja eine gute Idee. Zeig mal deinen Rechenweg.

03.12.2009, 21:45

Whats-that

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die Ableitung ist.

$\begin{eqnarray*} K'(x)=3x^{2}-2ax+50 \end{eqnarray*}$

dann durch 3 teilen und in die pq formel rein da bin ich bei :

$\begin{eqnarray*} \frac{2a}{6} \pm \sqrt{\frac{4a^{2}}{36}-\frac{50}{3} } \end{eqnarray*}$

ab jetzt weiß ich nicht weiter

03.12.2009, 22:02

Whats-that

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ahhh ich habe die lösungen gefunden trotzdem vielen dank

03.12.2009, 23:42

mYthos

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Zitat:

Original von Whats-that
ahhh ich habe die lösungen gefunden trotzdem vielen dank

Wäre nett gewesen, hättest du diese auch noch hier mitgeteilt!
_________________

Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion hat ein ganz bestimmtes Aussehen.

---- Zitat Beginn ----
Bei einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion steigen die Kosten zunächst mit abnehmenden Zuwachsraten, also degressiv. Ab einer bestimmten Ausbringungsmenge steigen die Kosten dann mit zunehmenden Zuwachsraten. Die Stelle der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion, an der die degressive in eine progressive Steigung übergeht, wird als Wendepunkt (W) bezeichnet.
---- Zitat Ende ----

Die gegebene Kostenfunktion ist vom Grad 3, daher hat sie zunächst einmal einen Wendepunkt (Kostenkehre). Die Grenzkostenkurve hat an der Stelle des Wendepunktes der Kostenfunktion ein Minimum.
Es ist tatsächlich zwingend, dass die Grenzkosten K'(x) durchwegs positiv sein müssen. Daraus folgt auch, dass die Kostenfunktion keine Extremwerte besitzen darf. Die quadratische Gleichung, die das Nullsetzen der Grenzkosten (1. Ableitung der Kostenfunktion) liefert, darf also keine reellen Lösungen zeitigen.
Rechnen wir dies nun weiter, so erhalten wir

$\begin{eqnarray*} 0 < a \leq \sqrt{150} \end{eqnarray*}$

Rechne dies nach! Der Wendepunkt der Kostenfunktion (rot) bzw. das Minimum der Grenzkosten (grün) liegt bei a/3. Der Graph der Durchschnittskosten (Stückkostenfunktion) ist die blaue Kurve.

mY+

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