Würfel, Erwartungswert, alle Zahlen zweimal

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Klulu Auf diesen Beitrag antworten »
Würfel, Erwartungswert, alle Zahlen zweimal
Hallöchen...

Wir haben neulich im Unterricht den Erwartungswert berechnet, wie häufig man mit einem Würfel würfeln muss um alle Zahlen einenmal gesehen zu haben und kamen auf das Ergebnis 14,7...

Nun haben wir die Aufgabe bekommen zu berechnen, wie der Erwartungswert sein soll, daß jede Zahl zweimal vorkommt. Das Ergebnis soll wohl 29,4 sein, aber ichkomme da irgendwie nicht hin... Oder kann ich ganz einfach den Erwrtungswert aus der ersten Aufgabe mit 2 multiplizieren??? Ich bin aber der Meinung, daß das nicht zwingend richtig sein muss, weil ich ja schon aus der ersten Aufgabe jede Menge doppelte Zahlen habe, die dann eigentlich dagegen sprechen den ersten Erwartungswert mit 2 zu multiplizieren...

Ich habe auch versucht ein Baumdiagramm zu erstellen, aber das wird mit der Zeit ziemlich unübersichtlich und macht ja auch erst Sinn nach dem 12. Wurf, weil ich die ja mindestens immer brauche... Aber so großes Papier habe ich nicht wirklich...

Wäre euch dankbar für nen Denkansatz... Mein Mathelehrer meinte, er würde an dieser Aufgabe nun schon seit einiger Zeit sitzen und käme nicht zu einer Lösung... Scheint schwerer zu sein, als ich anfangs dachte smile

MfG Herbsthase
Marvin42 Auf diesen Beitrag antworten »

so ganz ist mir nicht klar worum es geht. Aber wenn du zwei Threads weiter unten schaust Kugel, Fächer, Roulette.. und Roulette durch Würfel ersetzt sollte es passen.
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Poste doch mal kurz den Ansatz für den ersten Fall, daran lässt es sich - falls das Roulette nicht hilft - wohl am einfachsten erklären.
PrototypeX29A Auf diesen Beitrag antworten »

Du hättest einen Erwartungswert von 29,4 wenn du den Versuch zweimal hintereinander durchführen würdest. Also alle Zahlen einmal Würfeln, dann alles vergessen und nochmal alle Zahlen würfeln.

In deinem Versuch darfst du dir aber ja schon die Zahlen merken die zweimal drangekommen bevor du alle Zahlen einmal hattest. Damit wären die gebrauchten Versuche immer kleiner gleich Versuche bei zwei Durchführungen des ersten Versuchs. Das heisst dein Erwartungswert muss kleiner als 29,4 sein.
Herbsthase Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das habe ich mir auch schon gedacht... Nur fällt mir kein anderer Lösungsansatz ein...

Hier ist mal die genaue Aufgabenbeschreibung... Hatte den Zettel nämlich gestern noch nicht smile

Die Zufallsgröße X bedeutet die Anzahl der Würfelwürfe, bis alle sechs Augenzahlen mindestens zweimal erschienen sind. Jemand behauptet, ihr Erwartungswert E(X) betrage 29,4. Nehmen Sie Stellung zu dieser Behauptung und entwickeln Sie ien Verfahren zur möglichst genauen Abschätzung dieses Erwartungswertes.

Ich hatte auch mal die Idee das ganze mit nem 12-seitigen würfel zu berechnen, wobei dann 1 und 7 für 1 stehen und 2 und 8 eben für zwei usw... dachte das wäre dann einfacher zu rechnen und es ändert meiner Meinung nach nicht wirklich was an der Wsk, weil die für die Zahl 1 dann ja bei 2/12 also 1/6 liegt...
Dennoch kann ich kein wirkliches Modell für den Erwartungswert errichten...

Beim letzten Mal sind wir vorgegangen, daß wir zusammengefasst gesagt haben


bei dem Versuch den Erwartungswert wann die dritte unterschiedliche Zahl kommt, wenn wir jede Zahl nur einmal sehen wollen... D.h. nach der zweiten zahl werden im Schnitt noch 1,5 Würfe benötigt um die dritte Zahl zu erhalten...
Aber dieses Modell kann ich nicht anwenden auf das jetzige Problem...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Klulu
Wir haben neulich im Unterricht den Erwartungswert berechnet, wie häufig man mit einem Würfel würfeln muss um alle Zahlen einenmal gesehen zu haben und kamen auf das Ergebnis 14,7...

Keine Ahnung, wie du darauf kommst: Nach soundsoviel Würfen kannst du dir nie 100%ig, sondern nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit sicher sein, alle Zahlen schon mindestens einmal gewürfelt zu haben. Nach 15 Würfen z.B. ist diese Wahrscheinlichkeit dafür erst bei bescheidenen 64.4%, das ist noch keine so tolle Sicherheit.


EDIT: ... OK, weiter unter, für das zweite Problem, steht dann versteckt, dass es nur um den Erwartungswert der erforderlichen Anzahl geht. Das gehört auch gleich oben hin!

edit2: steht sogar in deinem Zitat Augenzwinkern
 
 
Herbsthase Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht ja auch nicht darum den Wert zu errechnen 100% ig alle zahlen einmal gesehen zu haben, sondern um den Durchschnittswert, wie oft man würfeln muss um alle Zahlen gesehen zu haben... Das hat nicht viel mit der Wahrscheinlichkeit zu tun...

In dem fall berechnet man das ja wie folgt:



d.h. ich brauche im Schnitt 14,7 Würfe um alle Augenzahlen einmal gesehen zu haben... Natürlich ist das nicht der Wert, den ich benötige um sie 100% ig gesehen zu haben, eben nur ein Durchschnittswert...
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Aufgabe ja bereits von abschätzen spricht, wird die Lösung hier wohl nicht so trivial sein. Des kann ich net wirklich unglücklich

Jedoch ist die obere Grenze der Abschätzung schon genannt: 29,4.

Jetzt gilt es, möglichst enge Grenzen oben und unten zu finden.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich denke die genaue Berechnung des Erwartungswertes ist ein äußerst langwieriges Unterfangen:

Sei der Zeitpunkt, wo erstmalig alle 6 Augenzahlen mindestens zweimal erschienen sind. Mit den Zufallsgrößen

... Anzahl der Augenzahl unter den ersten Würfen.

ist dann

mit ,

das Komplement betrachtend gelangt man zu



Das rechts kann man jetzt z.B. mit der Siebformel angehen... jedenfalls eine Heidenarbeit.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Herbsthase
Es geht ja auch nicht darum den Wert zu errechnen 100% ig alle zahlen einmal gesehen zu haben, sondern um den Durchschnittswert, wie oft man würfeln muss um alle Zahlen gesehen zu haben... Das hat nicht viel mit der Wahrscheinlichkeit zu tun...

Also hier geht es um einen Erwartungswert und das hat schon was mit Wahrscheinlichkeiten zu tun.

Zitat:
Original von Herbsthase
In dem fall berechnet man das ja wie folgt:



d.h. ich brauche im Schnitt 14,7 Würfe um alle Augenzahlen einmal gesehen zu haben

Also diese Rechnung verstehe ich nicht. verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit

Bei der ersten Teilaufgabe ist Klulu (ähhm Herbsthase, oder sein Lehrer, oder wer auch immer Augenzwinkern ) so vorgegangen:

... Anzahl der erforderlichen Versuche vom ersten Auftreten der (k-1)-ten bis zum ersten Auftreten der k-ten Augenzahl

Diese sind geometrisch verteilt gemäß mit Erwartungswert und folglich

.


P.S.: Zum Problem des nun gesuchten Erwartungswertes: Ein kleiner Simulationslauf mit 10^8 Wurfreihen hat die Schätzung 24.13 erbracht. Aber wie gesagt, das ist nur eine Simulationsschätzung ohne verlässliche obere und untere Schranken.
Herbsthase Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank erstmal für die zahlreichen antworten...

Doch ich muss leider gestehen, daich das alles nicht so ganz verstehe... Wir sind gerade in der vierten Woche Stochastik und ich kenne mich mit den ganzen Begrifflichkeiten bzw. den ganzen Buchstaben noch nicht so wirklich aus... unglücklich und von einer Siebformel habe ich noch nie etwas gehört... smile

Wie hast du denn diesen simulationslauf gemacht??? Gibts dafür ein Programm???

@klarsoweit I: wollte damit nicht sagen, daß es nichts damit zu tun hat, ging nur darum, was Athur Dent vorher geschrieben hatte in Bezug auf die Wsk bei 14,7 Würfen...

@klarsoweit II: Ja, in der ersten Aufgabe, wo es darum ging den Erwartungswert für einmal sehen der Zahl gng, gingen wir von einer geometrischen Reihe aus...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Herbsthase
Wie hast du denn diesen simulationslauf gemacht??? Gibts dafür ein Programm???

Ja - ein selbst geschriebenes C-Programm (ca. 5 Minuten Programmierzeit), sonst hätte ich in der kurzen Zeit auch nicht 10^8 Läufe durchziehen können. Augenzwinkern
Herbsthase Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... das ist fein smile wie bist dabei denn vorgegangen??? vielleicht kann man das ja auch in ner excel tabell errechnen lassen??? evtl. reicht das ja auch schon aus für die aufgabenstellung wenn er von einer möglichst genauen abschätzung spricht...

aber ich werde mal versuchen deinen lösungsansatz nachzuvollziehen... vielleicht verstehe ichs ja irgendwann *gg*
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn du das wirklich willst: Der Ansatz oben mit der Siebformel wird noch richtig eklig, soviel kann ich dir versprechen: Du brauchst dann die Wahrscheinlichkeiten

,

das geht ja noch. Beim Durchschnitt zweier solcher Ereignisse mit wird es schon schlimmer:



Beim Durchschnitt von drei kann einem bereits schwarz vor Augen werden... Mit etwas Durchhaltewillen ist das aber schaffbar. smile


Das ganze basiert auf Multinomialverteilungen



dabei unterscheidet man zwischen den Augenzahlen und fasst den "Rest" der Augenzahlen zu einer Kategorie zusammen.
Herbsthase Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... sieht sehr kompliziert aus smile werde mir das mal ausdrucken und versuchen das zu verstehen... bege mich da aber nicht sonderlich viel hoffnungen hin, zumal ich noch nicht mal verstanden habe, inwiefern diese Siebformel dabei überhaupt weiterhilft... Wikipedia kann sich auch recht kompliziert ausdrücken *gG*
aber wennich das dann verstanden habe binich bestimmt ein held^^

vielen dank aber für die mühe... smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem: Ich würde hier Simulation bevorzugen. Die obigen 10^8 Testreihen in je 10 zu 10^7 unterteilt ergibt die 10 Mittelwerte (geordnet)

24.1308
24.1314
24.1317
24.1326
24.1342
24.1342
24.1344
24.1357
24.1366
24.1371

und den Gesamtmittelwert 24.1339 . Die ersten beiden Nachkommastellen, also 24.13 können somit als ziemlich gesichert gelten.

Zumal sich der Simulationsansatz leicht auch auf das dritte, vierte usw. Auftreten erweitern lässt. Zum Vergleich mal was die Simulation liefert beim ersten Auftreten, wo wir ja das theoretische Ergebnis 14.7 kennen (wieder 10mal je 10^7 Läufe):

14.6979
14.6984
14.6993
14.6993
14.7006
14.7010
14.7012
14.7019
14.7020
14.7022

und Gesamtmittelwert 14.7004 .
Herbsthase Auf diesen Beitrag antworten »

sieht auch viel besser aus^^ aber wie haste die gemacht??? würde ungern meinen teaschenrechner nun die ganze zeit zufallszahlen auswerfen lassen und das ganze dann notieren...
und nen programm schreiben kann ich auch nicht... kannst mir vielleicht sagen, wie ich ne formel aufstelle, die das ganze simulieren kann in excel??? oder ne generelle formel, die ich dann entsprechend abändern und dort einsetzen kann???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Excel? Bäääh, wie lange soll denn das dauern!

Hier das C-Programm, sollte z.B. mit gcc direkt kompilierbar sein:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main (int nArgs_p, char *pszArg_p[])
{
  int       nRuns = 10;
  long      lSize = 1000000;
  long      lIndex;
  long      lCount;
  long      lOccurences[6];
  int       nNumber;
  int       nMissing;
  int       nRun;
  double    fEW, fSum;
  long long llSum;
  if (nArgs_p > 1)
  {
    lSize = atol(pszArg_p[1]);
  }

  fSum = 0.0;
  for (nRun = 0; nRun < nRuns; nRun++)
  {
    llSum = 0;
    for (lIndex = 0; lIndex < lSize; lIndex++)
    {
      memset(lOccurences, 0, sizeof(lOccurences));
      nMissing = 6;
      lCount = 0;
      do
      {
        nNumber = random() % 6;
        if ((++lOccurences[nNumber]) == 2)
        {
          nMissing--;
        }
        lCount++;
      }
      while (nMissing > 0);
      llSum += lCount;
    }
    fEW = ((double)llSum)/((double)lSize);
    printf("%ld simulations: %14.9lf\n", lSize, fEW);
    fSum += fEW;
  }
  printf("\n%ld simulations: %14.9lf\n", lSize*nRuns, fSum/nRuns);
  return 0;
}

Man kann natürlich alles noch etwas bedienfreundlicher machen, und sollte sich auch noch besser um den Zufallszahlengenerator kümmern... Aber im wesentlichen ist es das schon.
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Besonders Gelungen finde ich diese Stelle
code:
1:
2:
3:
4:
        if ((++lOccurences[nNumber]) == 2)
        {
          nMissing--;
        }

Schönes Ding. Und nu bitte noch in javascript, damit auch jemand ohne C-Compiler das ganze in einem Browser machen kann Augenzwinkern *Knutsch
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz im Gegenteil: Das ist die Stelle, die mir am peinlichsten ist. Als Auch-Programmierer weiß ich, das Code-Lesbarkeit wichtiger ist als solche Konstrukte. Und die Langform
code:
1:
2:
3:
4:
5:
        lOccurences[nNumber]++;
        if (lOccurences[nNumber] == 2)
        {
          nMissing--;
        }

bewältigen moderne Compiler mit derselben Effizienz. Also eher Schande über mich an der Stelle. Augenzwinkern


EDIT: Außerdem fehlt noch die Multithreading-Komponente, ich will ja schließlich meinen erst kürzlich erworbenen Athlon64X2 richtig ausnutzen. Big Laugh
Kaum woanders ist die Parallelisierung so einfach wie bei solchen Simulationsproblemen...
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bezog mich auch nicht auf das ++ - das ist tatsächlich schwer lesbar. Sondern die Lösung mit dem Zählarray und dem dem Counter von 6 auf 0 - schön kompakt. Augenzwinkern
Herbsthase Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... leider kenne ich mich mit programmierung auch nicht aus^^ komme mir im großen und ganzen im augenblick ziemlich unwissend vor im vergleich zu euch...

was muss ich nun mit dem code machen??? und kann ich da irgendwie rauslesen, was das ding da macht???
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Herbsthase
hmm... leider kenne ich mich mit programmierung auch nicht aus^^ komme mir im großen und ganzen im augenblick ziemlich unwissend vor im vergleich zu euch...

was muss ich nun mit dem code machen??? und kann ich da irgendwie rauslesen, was das ding da macht???

Ne nix dumm, nur was anderes gelernt.

Zu Deinen Fragen:
1. Compilieren und starten. Wenn Du aber keine Ahnung von Programmieren hast, wird dir das nicht weiterhelfen. Vielleicht erbarmt sich einer und schreibt das ganze in javascript in eine html-Datei. Dann kannst du es in jedem Browser starten (der "kompiliert" und startet das dann für dich)

2. a) ja, C++ lernen
b) ja, ins Infoboard gehen und dort fragen (hat aber nur geringe Aussichten, dass dort ohne Dein Mitwirken der Algorithmus erklärt wird)
c) sonst eher nein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn das jetzt über die Fragestellung hinausgeht, ich hab hier mal für den Erwrtungswert von

... erste Position der Wurfkette, wo alle Augenzahlen mindestens n-mal erschienen sind

ein paar Überlegungen angestellt. Wir wissen und durch Simulation . Ich hab mal ein wenig weiter simuliert und die Erwartungswerte für geplottet:



Die rote Linie ist , also der Minimalwert der Zufallsgröße . Interessant ist, was für passiert, was man mit Simulation natürlich nicht ergründen kann - ich vermute mal



mit einem noch zu bestimmenden Faktor . Ist aber zunächst nur Heuristik, wobei die Erfahrung aus Grenzwertsätzen auf die Aufstellung dieser Vermutung starken Einfluss hat... Augenzwinkern

Sorry für das Off-topic, aber diese Fragestellung fiel mir im Zusammenhang mit dem Ursprungsproblem so ein.
Herbsthase Auf diesen Beitrag antworten »

unser mathelehrer kam auch heute mit demselben problem an... zwar nicht mit n mal sehen aller zahlen, sondern mit z.b. 10 mal, und das wäre auch meine nächste frage gewesen... das problem an der ganzen geschichte ist einfach nur, daß ich es unglaublich toll finde, was ihr euch hier für arbeit macht bzw. was ihr euch so alles denken könnt, und das meine ich wirklich ernst Freude , aber ich das in keinster weise nachvollziehen kann... traurig

btw. mein lehrer hat noch nie irgendwas von ner siebformel gehört^^ werde ihm das hier mal zuschicken, mal schauen, was er dazu sagt, wenn ihr nichts dagegen habt Augenzwinkern
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