Endomorphismus

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04.12.2009, 16:16	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus Guten Tag zusammen! Sei n Element der natürlichen Zahlen und $\begin{eqnarray} f: V^{2n+1} \rightarrow V^{2n+1} \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus auf dem ungerade dimensionalen reellen Vektorraum $\begin{eqnarray} V^{2n+1} \end{eqnarray}$ Wie zeige ich am besten, dass f einen Eigenvektor besitzt? Vielen Dank für die Tipps!
04.12.2009, 16:28	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen Grad besitzt denn das charakteristische Polynom des Endomorphismus'?
04.12.2009, 16:36	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grad des char. Polynoms beträgt (2n+1) (also ungerade..)
04.12.2009, 16:39	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was können wir daraus schließen, wenn $\begin{eqnarray} V^{2n+1} \end{eqnarray}$ ein IR-VR ist?
04.12.2009, 16:57	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
..dass er mindestens einen Eigenvektor besitzt, da ja, wie gezeigt, der Grad des char. Polynoms ungerade, also mindestens 1 ist.
04.12.2009, 17:01	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahja und wieso hat der Endomorphismus einen Eigenvektor, wenn das Charakeristische Polynom mind. Grad 1 hat?
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04.12.2009, 17:36	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil "mindestens Grad 1" heisst ja, dass es mindestens ein Lambda gibt, also hat es mindestens einen Eigenvektor. (Stimmt das nicht, dass du so "kritisch" fragst..?)
04.12.2009, 17:46	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die Begründung ist alles andere als schlüssig. Grad mind. 1 heißt, dass es mind. ein Lambda gibt, das was erfüllt?
04.12.2009, 17:54	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
..das Element des Körpers IK ist. Also Lambda sollte einfach der Eigenwert darstellen, der definiert ist als: f(v) = Lambda * v . (Also hier gäbe es relativ viele Definitionen..)
04.12.2009, 17:56	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Lambda das Element des Körpers ist, finden wir immer. Dafür brauchen wir weder einen Vektorraum, noch dessen Dimension, noch einen Endomorphismus.
04.12.2009, 18:07	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
Recht hast du :P hehe.. Zudem - fast das Wichtigste, und ich hab es nicht mal erwähnt :S - entsprechen die Eigenwerte (also die Lambdas) den Nullstellen des (charakteristischen) Polynoms. Und eben, weil unser Polynom mindestens Grad 1 hat, gibt es mindestens ein Lambda, also mindestens eine Nullstelle, also mindestens einen Eigenvektor.
04.12.2009, 18:11	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahja, das Polynom x^2+1 hat also mind. eine Nullstelle?
04.12.2009, 19:45	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht wirklich... Jetzt bin ich ehrlichgesagt sprachlos..
04.12.2009, 19:50	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann kannst du denn in IR sagen, dass ein Polynom mindestens eine Nullstelle hat?
04.12.2009, 20:24	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhh :-) Es blinkt bei mir gerade: Stichwort Zwischenwertsatz Kann man nicht aus dem ZWS folgern, dass Polynome ungeraden Grades stets eine Nullstelle haben? Alternativ denke ich, sollte es auch aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgen.. Richtiiiiig?
04.12.2009, 20:46	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du das aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgern möchtest ist mir zwar unklar, aber über den ZWS geht es. Polynome ungeraden Grades über IR haben immer wenigstens eine Nullstelle. Das charakteristische Polynom hat also folglich eine Nullstelle und damit der Endomorphismus einen Eigenwert und daher auch einen Eigenvektor.
04.12.2009, 21:13	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
Jupii =) Herzlichen Dank! Wir haben ja jetzt einen Endomorphismus f: V^{2n+1} --> V^{2n+1} angeschaut, und gesehen, dass f einen Eigenvektor besitzt. Was aber wenn f beispielsweise: IR^{2n} --> IR^{2n} ist? Gibt es hier auch für alle Endomorphismen einen Eigenvektor?
04.12.2009, 21:52	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuch doch einfach mal die von der folgenden Matrix induzierte lineare Abbildung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
04.12.2009, 23:14	Nani	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar! Vielen Dank diiir! =)

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