Komplexe Zahlen |
| 04.12.2009, 18:32 | Firtina25 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Komplexe Zahlen ich versuche schon seit gestern einen vernünftigen Rechenweg zu der Aufgabe: Geben sie alle Lösungen Z (Element komplexer Zahlen) der Gleichung (Z+i)³ = -8 in der Form a + bi an, zu finden. Nun ich habe die erste Stelle durch einfaches umformen rausbekommen: Z+i = Z = -2 -i Es müssen jedoch 2 weitere Lösungen existieren, die ich nicht finde. Habe es mit Polarkoordinaten versucht aber es klappt irgendwie nicht, weil ich finde keinen Wert für A p= (cosA = -2 und isinA=-1) |
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| 04.12.2009, 20:38 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Komplexe Zahlen > schon seit gestern (z+i)³= -8 w= z+i Ansatz: w= r* e^(i* phi ) w³ = r³* e^(i*3*phi ) -8= 8* e^i*(180° + k*360°) r³* e^(i*3*phi) = 8* e^i*(180° + k*360°) r³=8 -> r= 2 phi = (180° + k*360°)/3 = 60° + k*120° .. für k= 0, 1, 2 .. w1= 2*(cos(60°) + i*sin(60°)) w2= 2*(cos(180°) + i*sin(180°)) w3= 2*(cos(300°) + i*sin(300°)) -> z1 = ? z2 = ? z3 = ? ok? < |
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| 04.12.2009, 21:35 | Firtina25 | Auf diesen Beitrag antworten » |
a |
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| 04.12.2009, 21:51 | Firtina25 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hmm ja danke erstmal... Also du hast die Lösung über die eurlersche Darstellung gemacht, die ich leider noch nie angewandt habe und kenne sie deshalb auch nicht so gut. Bis jetzt habe ich immer mit der einfachen polaren Darstellung die Stellen geholt. also die allgemeine eulersche Darstellung ist: z^k = r^k * e^(i*k*phi) daraus hast du ja dann das hier geschrieben: --> w³ = r³* e^(i*3*phi ) Den nächsten Schritt verstehe ich allerdings leider nicht mehr ? -8= 8* e^i*(180° + k*360°) Und danach ist ja alles logisch und klar. |
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| 04.12.2009, 22:02 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » |
> Den nächsten Schritt verstehe ich allerdings leider nicht mehr ? -8= 8* e^i*(180° + k*360°) ist es dir so lieber: 8 * [ cos(180° + k*360°) + i * sin(180° + k*360°) ] probiere es halt mal aus für k= .. , 0, 1, 2, 3, ... du wirst immer als Ergebnis die Zahl - 8 bekommen .... oder? und: klar warum? < |
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| 04.12.2009, 22:18 | Firtina25 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mir ging es speziell um das was in der Klammer steht, also wie du da auf 180° bzw. pi kommst ? |
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| 04.12.2009, 22:29 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » |
> Mir ging es speziell um das was in der Klammer steht, also wie du da auf 180° bzw. pi kommst ? also: zu der komplexen Zahl z= - 8 gehört der Betrag |z|=+8 und das Argument pi (oder 180°) oder wenn du ein paar mal voll durchdrehst eben immer noch 180°+k*360° nebenbei: das Argument von z ist der Winkel, der von der positiven reellen Achse, gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, um zu dem Punkt z der Gauss-Ebene zu kommen.. jetzt klarer? < |
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| 04.12.2009, 22:41 | Firtina25 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich das alles nun richtig nachvollzogen hab 
muss man allerdings aufpassen dass man die Beträge nicht durcheinander bringt, denn es gibt ja auf der einen Seite der Betrag der komplexen Zahl: (der den Abstand vom Nullpunkt angibt): z = a+bi --> Betrag von Z = Und den normalen Betrag den du meintest der die Zahl positiv macht. |
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| 04.12.2009, 22:57 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » |
. Und den normalen Betrag den du meintest der die Zahl positiv macht. allerdings aufpassen dass man die Beträge nicht durcheinander bringt, lustig
der Betrag der Zahl z= - 8 ist der Abstand des Punktes (-8 / 0) vom Nullpunkt den darfst du natürlich auch mit deiner Formel berechnen, musst nur für a= - 8 und b= 0 einsetzen : z = a+bi --> Betrag von Z = und weil der Punkt z= - 8 auf der reellen Achse liegt, ist der positive Wert +8 -oh Wunder- gleich |z| da wird also gar nichts durch ein ander gebracht .. ok? |
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| 04.12.2009, 23:00 | Firtina25 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hehe alles klaro danke
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