Gewichte und Punkte von Quadraturformel berechnen

04.12.2009, 23:12	KlausR.	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewichte und Punkte von Quadraturformel berechnen Hallo, und zwar möchte ich die Gewichte $\begin{eqnarray} w_i \end{eqnarray}$ und die Punkte $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ von folgender Quadraturformel bestimmen, so dass diese Polynome bis Grad 3 korrekt integriert: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~\sqrt{x}f(x)~dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1) \end{eqnarray}$ Nun komm ich aber leider nicht weiter, da alle Gleichung die ich erhalte, stets mindestens zwei Unbekannte enthalten. Versucht habe ich: $\begin{eqnarray} f(x)=1\Rightarrow \frac{2}{3} = w_0+w_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=x\Rightarrow \frac{2}{5} = w_0x_0+w_1x_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=(x-x_0)\Rightarrow \frac{2}{5}-\frac{2}{3}x_0 = w_1(x_1-x_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=(x-x_0)(x-x_1)\Rightarrow \frac{2}{7} - \frac{2}{5}x_0-\frac{2}{5}x_1 + \frac{2}{3}x_0x_1 = 0 \end{eqnarray}$ Wobei die linke Seite der Gleichung das Ergebnis des Integrals für das entsprechende f ist. Ich wäre sehr dankbar, falls mir jemand helfen könnte wie man das System löst. Oder kann man dies alternativ irgendwie in Matlab eingeben, und es lösen lassen? Vielen Dank Klaus
05.12.2009, 01:14	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gewichte und Punkte von Quadraturformel berechnen du kannst Gauss quadratur verwenden, die integriert polynome bis zum grad 3 korrekt. die ist für das intervall [-1,1]. dafür als erstes intervalltransformation durchführen, von dem Intervall [0,1] auf das intervall [-1,1] und dann sind die knoten vorgegeben: bei zwei knoten sind das $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1}~f(x)dx=f(-\sqrt \frac{1}{3})+f(\sqrt \frac{1}{3}) \end{eqnarray}$
05.12.2009, 07:27	KlausR.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Problem ist, dass wenn ich z.B. $\begin{eqnarray} \phi(x) := \sqrt{x}f(x) \end{eqnarray}$ setze und dann die Gauß-Quadraturformel auf $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ anwende (natürlich den Integrationsbereich entsprechend angepasst), dann lässt sich nicht einmal mehr f(x) = 1 korrekt integrieren (Ergebnis ist 0,673... statt 2/3), da man ja kein Polynom mit der Gauß-Quadraturforme integriert sondern $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ . Allerdings steht auf der entsprechenden Wikipedia, wie man das für ein allgemeines w(x) (bei mir also w(x) = sqrt(x)) durchführt. Nun muss ich nur noch entsprechende P_j finden, die zueinander orthogonal sind mit dem Gewicht w.

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