Induktion für N0

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05.12.2009, 14:52	TheBoss	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion für N0 Hey Leute, ich soll folgende Behauptung mithilfe der Induktionsregel beweisen bzw. widerlegen... Für alle n e N0 gilt : 2 \| (n² - n) Nur fehlt mir dazu irgendwie jeglicher Zugang =/ Ich mein Induktionsregel ist ja klar: Wenn etwas für n gilt, gilt es auch für n+1 und da es N0 ist, muss auch die 0 vorhanden sein... Setzt man jetzt n=0 steht da (Induktionsanfang), steht da: 2 * x = 0²-0 für x e N0 = 2x=0 Dies trifft zu, wenn x=0 ist... Setzt man n+1 ein, steht da: 2 x = n² + 2n + 1 - n - 1 = 2 * x = n² + n Aber auch wenn ich die Induktion bisher eig. verstanden habe, fällt es mir schwer, sie hier anzuwenden.. Könnte mir bitte wer helfen? LG
05.12.2009, 14:54	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
n^2 - n + 2n= n^2 + n Mehr sollte man nicht verraten
05.12.2009, 15:05	TheBoss	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt die Formel nicht die Summe aller geraden Zahlen an?
05.12.2009, 15:19	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber das wäre ein direkter Beweis. Direkte Beweise gehen sogar noch kürzer: n^2-n = n(n-1) q.e.d.
06.12.2009, 13:27	TheBoss	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry aber deinen Beweis versteh ich jetzt nicht ^^ Würde das denn nicht auch so gehen, wenn ich einfach schreiben würde, da n²+n die Summe aller geraden Zahlen angibt, müssen diese durch 2 teilbar sein, womit dioe Induktion erfolgreich war? Achjja: Gibt es noch eine andere Möglichkeit, dieses (Für alle n e N0 gilt : 2 \| (n² - n) ) zu beweisen als die Induktion?
06.12.2009, 14:00	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du schreibst dass n^2+n die Summe der geraden Zahlen bis n ist, so ist dies ein direkter Beweis, kein Induktionsbeweis mehr. Den entscheidenden Schritt zum Induktionsbeweis habe ich in meinem ersten Beitrag gegeben
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06.12.2009, 14:52	TheBoss	Auf diesen Beitrag antworten »
Oki, da ich eh 2 Beweise anfertigen soll, hab ich ja dann zum einen den direkten und zum anderen den indirekten Beweis... Nur hab ich da grad ein paar Schwierigkeiten: Zum direkten Beweis: du hast geschrieben: n^2-n = n(n-1) Aber warum ist das schon der direkte Beweis? Hier wurde doch noch nichts bewiesen, sondern nur n ausgeklammert? Oder müsste ich jetzt hier noch für n n+1 einsetzen? Sry, mir fehlt da grad das Verständnis ^^ Zum Induktionsbeweis: Mein Induktionsschritt wäre: 2 * x = (n+1)² - (n+1) = 2x = n² + 2n + 1 - n - 1 = 2x = n² + n Da n²+n immer durch 2 teilbar ist, gilt die Behauptung auch für n+1, womit die Behauptung richtig sein muss! Ist das nicht der Schritt? Und wenn nicht, was muss ich dann da noch machen? Konnte leider net mehr aus deinem ersten Beitrag rausziehen...
06.12.2009, 15:28	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil das Produkt zweier aufeinanderfolgenden Zahlen gerade ist. Dein Induktionsbeweis ist kein Induktionsbeweis da die Induktionsvorraussetzung nicht benutzt wurde
06.12.2009, 15:41	TheBoss	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie bringe ich die dort ein? IA: 2x = n²-n Für n=0: 2x=0²-0 IV: Wenn es für n gilt, muss es laut Induktion auch für n+1 gelten... IS: 2x = n² + n 2 x = (n²-n) + 2n Dort findet sich die Induktionsvoraussetzung ja wieder... Meinst du das so? Wenn ja, häng ich jetzt fest ^^ Und das mit dem direkten Beweis konnt ich leider auch noch net nachvollziehen!
06.12.2009, 16:56	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch ein direkter Beweis, der zur Jahreszeit passt... Angenommen zu Silvester befinden sich n Personen in einem Raum, die alle gegenseitig auf das Neue Jahr anstoßen... Wenn man sich dann überlegt, wie oft dann die Sektgläser erklirren und dass diese Anzahl ja nur ganz sein kann, hat man auch eine Lösung der Aufgabe...
06.12.2009, 20:49	TheBoss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok jetzt mal beide Beweise... Direkter Beweis: 2x = n²-n = 2x = n(n-1) Da n(n-1) die Summe zwei aufeinanderfolgender Zahlen angibt, ist die Summe immer gerade und somit durch 2 teilbar, sofern n e N! Meine Frage hierzu: Ist das alles, oder muss ich auch noch irgendwie beweisen, dass die Summe von 2 aufeinander folgenden Zahlen gerade ist oder dass n(n-1) die Summe von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen angibt? Induktion: Ich komm da nicht weiter... Also, dass 2x = n²+n gilt, ist ja bewiesen... Für n+1 müsste es ja dann sein: 2y = n² + n = 2y = (n²-n) + 2n = 2*y = 2x + 2n = y = x+n Oder ist das völlige Grütze?? Wenn ja, was mach ich falsch und wenn nein, was brimngt mir das Ergebnis, was ich habe?
07.12.2009, 10:51	TheBoss	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine überarbeitete Fassung: Induktion: 2y = n² + n = 2y = (n²-n) + 2n Da für n²-n laut Induktionsvoraussetzung schon gilt, dass es durch 2 teilbar ist und 2n auch durch 2 teilbar sein muss, da es gerade ist, ergibt sich, dass die Behauptung auch für n+1 gilt! Ist das der komplette Schritt? Und bitte noch sagen, ob man beim direkten Beweis beweisen muss, dass das Produkt von 2 aufeinanderfolgenden Zahlen gerade ist, oder ob das einfach etwas ist, was Tatsache ist! Danke ;-)
07.12.2009, 14:18	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Joar fast, aber dieses 2y lassen wir doch bitte komplett weg Also: n^2+n=n^2-n + 2n Beide Summanden durch 2 teilbar, also auch n^2+n durch 2 teilbar. Natürlich kann man auch beim direkten Beweis noch zeigen dass das Produkt n(n-1) gerade ist. Aber das ist trivial zu zeigen
07.12.2009, 19:14	TheBoss	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum direkten Beweis: Müsste ich das dann auch wiedser über Induktion beweisen, wenn ich es tun wollte?
07.12.2009, 20:59	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö durch ne Fallunterscheidung zw. n gerade/ungerade
07.12.2009, 21:11	TheBoss	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie geht die? Sry aber sagt mir grad nix... Könnt ich es nicht auch über Beispielgebundenes Beweisen machen, indem ich z.B. 6 nehme und schreibe: 3* (3-1) = 3 * 2 = 6 ... ?

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