Cauchy-Produkt, bzw. Problem mit Doppelreihe

05.12.2009, 16:52

kleenes annilein

Cauchy-Produkt, bzw. Problem mit Doppelreihe

Hallöchen!
Ich hab ein Problem mit einer meiner Übungsaufgaben, um das zu zeigen, fang ich einfach mal mit der Aufgabe an:

Seien (an) und (bn) zwei Folgen definiert durch a0=3 und an= $\begin{eqnarray*} 3^{n} \end{eqnarray*}$
bzw. b0=-2 und bn= $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Reihen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ak \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~bk \end{eqnarray*}$ divergieren, wohingegen das Cauchy-Produkt der beiden Reihen konvergiert.

So, nun hab ich erst mal durch einsetzen gesehen, dass die beiden Reihen divergieren, das muss ich noch beweisen, das wird aber denke ich mal nicht so ein großes Problem, bzw. vielleicht haben wir das sogar schon mal in der Vorlesung gemacht.
Dann habe ich das Cauchy-Produkt gebildet:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\sum_{k=0}^n~bn*an-k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum_{n=0}^\infty ~\sum_{k=0}^n~2^{n} *3^{n-k} \end{eqnarray*}$

Da wir den Tipp bekommen haben, einfach erst mal ein zu setzen, um zu gucken, was denn da überhaupt passiert, hab ich mir die Partialsumme:
$\begin{eqnarray*} =\sum_{n=0}^l ~\sum_{k=0}^n~2^{n} *3^{n-k} \end{eqnarray*}$
angeguckt.

Und jetzt kann ich zu meinem Problem kommen: ich glaube, so wirklich habe ich noch nicht verstanden, wie das mit der Doppelsumme zu verstehen ist. Zunächst hab ich deshalb die innere Summe betrachtet und für n eingesetzt, doch auch dabei bin ich mir nicht sicher, ob das so richtig war. deshalb schreib ich auch das mal hin:

("EDIT": bis hierhin habe ich mich gequält, das alles in latex zu schreiben und mein Problem zu schildern, aber jetzt merk ich, als ich mein Ergebnis für die nächsten Summen aufschreiben möchte, dass ich dabei einen Fehler gemacht habe... Ups

ich korrigiere ihn und gucke mal, was ich mir dann überlegen kann...

Ich merke schon, da kommt doch wieder noch ein Problem auf mich zu...

Aber erst mal die inneren Partialsummen smile

n=0: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^0~bn*an-k=b0*a-k \end{eqnarray*}$
n=1: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1~bn*an-k=b0*a-k + b1*a1-k \end{eqnarray*}$
n=2: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^2~bn*an-k=b0*a-k + b1*a1-k+ b2*a2-k \end{eqnarray*}$

und so weiter...

Ich bin mir ja überhaupt nicht sicher bei dieser Aufgabe, deshalb frage ich, ob meine weiteren Überlegungen denn richtig sind:

Wenn ich auf das, was bei der inneren Summe rauskommt, die äußere Summe los lasse, also
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^l~... \end{eqnarray*}$ , dann muss ich in den Ergebnissen der inneren Summe doch jeweils nur das k durch l=1,2,... ersetzen und den Wert des jeweiligen Folgengliedes einsetzen, oder? Hab ich dann die Doppelsumme richtig verstanden??

Wenn das soweit wirklich richtig ist, mach ich mir dann Gedanken darum, wie ich für so ein Monster die Konvergenz beweise...

05.12.2009, 17:03

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Zitat:

Original von kleenes annilein
$\begin{eqnarray*} =\sum_{n=0}^\infty ~\sum_{k=0}^n~2^{n} *3^{n-k} \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht ganz: Für die Anfangswerte $\begin{eqnarray*} a_0=3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_0=-2 \end{eqnarray*}$ gelten eben nicht die sonstigen Darstellungen $\begin{eqnarray*} a_n=3^n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_n=2^n \end{eqnarray*}$ , wie man sich durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ leicht überzeugen kann.

05.12.2009, 17:32

kleenes annilein

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wären meine überlegungen denn richtig, wenn ich die indizes von 1 oder besser 2 (denn ich habe ja im ersten summanden jeweils a-k da stehen, was bei k=1 ja auch 0 wäre) an laufen lasse und mir den anfang als spezialfall überlege? eine partialsumme habe ich dann ja auch auf jeden fall, mit der ich erste überlegungen anstellen kann.

und ja, an= $\begin{eqnarray*} 3^{n} \end{eqnarray*}$ und bn= $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$ , das cauchy-produkt habe ich auch richtig nach der definition aus der vorlesung eingesetzt. dass die reihe nicht konvergieren könnte, darüber hab ich mir noch keine gedanken gemacht, denn uns wurde schon gesagt, dass das cauchy-produkt zweier divergenter reihen durchaus konvergieren kann. aber bei dem beispiel sieht das, jetzt, wo ich mir das mal so richitg klar mache, echt intuitiv schlecht aus...

05.12.2009, 17:36

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Du redest um den heißen Brei herum - auf den Punkt, den ich nachgefragt habe, bist du gar nicht eingegangen, also nochmal gaaanz, gaaanz langsam:

Wenn du $\begin{eqnarray*} a_n=3^n,b_n=2^n \end{eqnarray*}$ auch für n=0 benutzt, dann bedeutet das $\begin{eqnarray*} a_0=b_0=1 \end{eqnarray*}$ , im Widerspruch zu den von dir zunächst angegebenen $\begin{eqnarray*} a_0=3,b_0=-2 \end{eqnarray*}$ . Also was denn nun?

05.12.2009, 18:53

kleenes annilein

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nein, für n=0 ist ja a0=3 und b0=-2 angegeben in der aufgabe. warum uns das so gegeben wird, weiß ich auch nicht, schließlich sind an und bn an und für sich ja nicht rekursiv bestimmt...

und um dieses problem zumindest für erste überlegungen zu umgehen, wollte ich die indizes, bzw. die partialsummen erst mal von n=1, bzw. im cauchy-produkt von l=2 an laufen lassen, sodass ich a0 und b0 nicht in den partialsummen habe und wenigstens erst einmal eine ahnung davon kriege, was in der reihe vom cauchy-produkt passiert... schließlich hat unser tutor, der die aufgaben stellt, uns den tipp gegeben, erst einmal ein bisschen was für n ein zu setzen und zu gucken, was denn passiert.

05.12.2009, 18:55

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Die Cauchyproduktreihe zu $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} c_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k \end{eqnarray*}$ oder ausführlich geschrieben

$\begin{eqnarray*} c_n = a_nb_0 + a_{n-1}b_1 + \cdots + a_1b_{n-1} + a_0b_n \end{eqnarray*}$ .

Da die Formel $\begin{eqnarray*} a_n=3^n,b_n=2^n \end{eqnarray*}$ erst für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ und nicht schon für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ gelten, kannst du hier eben NICHT

$\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=0}^n 2^k3^{n-k} \end{eqnarray*}$

rechnen, sondern musst für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ so rechnen:

$\begin{eqnarray*} c_n = a_nb_0 + \sum_{k=1}^{n-1} a_{n-k}b_k + a_0b_n = 3^n\cdot (-2) + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{n-k}\cdot 2^k + 3\cdot 2^n \end{eqnarray*}$ .

05.12.2009, 19:24

kleenes annilein

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achso, jetzt versteh ich auch das problem. dass ich das ganze so rechnen muss, ging aus meinen vorlesungsunterlagen gar nicht hervor, da wir nie ein cn definiert haben... und außerdem habe ich auch glaub ich das mit der doppelsumme nicht richtig verstanden... nunja, vielen dank erst mal, ich versuch mich dann mal an dem, was du geschrieben hast, das sieht schon viel besser aus als alles, was ich bisher hin gekriegt hab.

05.12.2009, 19:28

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Zitat:

Original von kleenes annilein
dass ich das ganze so rechnen muss, ging aus meinen vorlesungsunterlagen gar nicht hervor

Schieb es nicht auf die Vorlesungsunterlagen, die sind schon ganz richtig. Du hast den Fehler gemacht, indem du für $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ die falschen Werte eingesetzt hast! Im dritten Anlauf hast du jetzt aber endlich meinen diesbezüglichen Hinweis wahrgenommen.

06.12.2009, 21:51

kleenes annilein

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entschuldigung, vielleicht hab ich dich auch einfach nicht richtig verstanden, weil ich noch ein "dummer" ersti bin.... gäb es jemanden, mit dem ich in live über die aufgaben reden könnte, würde ich das bestimmt machen, doch leider ist das matheboard die einzige möglichkeit für mich, mir hilfe von erfahreneren mathe-studenten, fertig studierten mathematikern oder sonst wem zu holen, der von den dingen, die ich machen soll, eine ahnung hat. schade, wenn man dann als drückeberger bezeichnet wird, weil man einfach noch nicht so gut mit einem mathe-skript zurecht kommt. das ganze geht auch freundlicher, meiner meinung nach!
auch wenn ich dir unendlich dankbar bin für deine hilfe, möchte ich dir sagen, dass du dir mal überlegen könntest, mit offensichtlichen "mathe-anfängern" ein bisschen deutlicher und freundlicher um zu gehen.
mal ganz davon abgesehen habe ich für a0 und b0 noch gar nichts eingesetzt, in keinem meiner posts....

sorry, das musste raus!

12.12.2009, 14:47

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Zitat:

Original von kleenes annilein
möchte ich dir sagen, dass du dir mal überlegen könntest, mit offensichtlichen "mathe-anfängern" ein bisschen deutlicher und freundlicher um zu gehen.

Mangelnde Deutlichkeit hat mir eigentlich noch nie jemand vorgeworfen. Dass man meine Deutlichkeit hinsichtlich des Aufdeckens offensichtlicher Ausreden als Unfreundlichkeit auslegt - nun ja, das ist wohl die normale Reaktion der Ertappten.

Zitat:

Original von kleenes annilein
mal ganz davon abgesehen habe ich für a0 und b0 noch gar nichts eingesetzt, in keinem meiner posts....

Doch, das hast du, du hast es nur nicht gemerkt: Indem du die allgemeine, für Index 0 nicht gültige Koeffizientenformel trotzdem in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k \end{eqnarray*}$ eingesetzt hast - geschehen in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~2^{n} *3^{n-k} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von kleenes annilein
auch wenn ich dir unendlich dankbar bin für deine hilfe

Das nehme ich dir nicht ab - lass diese Floskel, die ist ganz einfach unglaubwürdig nach all dem, was du danach losgelassen hast. unglücklich

13.12.2009, 17:17

kleenes annilein

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ich muss mich echt immernoch über dich ärgern!

alles, was ich geschrieben habe, habe ich ernst gemeint, doch mittlerweile kannst du meine bisherige dankbarkeit echt vergessen, obwohl, ist ja auch egal, wenn du sie mir eh nicht glaubst...
ich finde es echt schade, dass ich mich hier als dummer mensch, der seine fehler nicht einsehen WILL, fühlen muss, schließlich ist das matheboard nach wie vor meine einzige anlaufstelle, an die ich mich mit meinen (vielleicht auch manchmal blöden) fragen wenden kann.

danke, dass du mir das gefühl gibst, ein schlechter und fauler mensch zu sein!

13.12.2009, 18:40

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Es geht weder um "schlecht" oder "dumm", sondern um "unaufmerksam" - das ist es, was mich ärgert. Vor allem, wenn das dann auch noch abgestritten wird - da kommt dann leider auch noch "unaufrichtig" dazu.

Was ich sowieso nicht verstehe ist, warum du nach Klärung des mathematischen Sachverhalts nicht etwa die Aufgabe ordentlich zu Ende gerechnet hast (zumindest nicht hier im Thread), sondern eine vollkommen unnötige Zickerei hier losgetreten hast.

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