Eigenwert/Vektor

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donleon Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert/Vektor
Hallo zusammen,

bei folgender Aufgabe weiß ich nicht wie ich sieh angehen soll, wäre echt super, wenn jemand von euch einen Ansatz wüsste (bei beiden Aufgaben)
Vielen Dank schon mal

Gegeben sei eine nxn-Matrix A mit A²+5A-24E=0, wobei E die nxn-Einheitsmatrix ist.
a) Entscheiden Sie, ob 1 ein Eigenwert von A ist (butzen Sie aus, dass es zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor ungleich dem Nullvektor gibt)
b) Geben Sie ein Beispiel für A im Fall n=2, n=3 und n=4 an.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

a) Naja nehme doch einmal an es wäre ein EW und rechne dann los
b) Tipp: Diagonalmatrix
donleon Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal für die Tipps, doch bei a steh ich total auf dem Schlauch.
Ich versteh nicht, was ich mit dem Term A²+5A-24E=0 anfangen soll.
Eigenwert und Vektor kann ich berechnen wenn ich eine Matrix in Zahlen gegeben habe, aber so wie hier komm ich einfach nicht in die Aufgabe.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst ihn auch nicht ausrechnen, sondern annehmen du hast ihn schon und dann die Eigenschaften eines Eigenvektors benutzen.
Wenn also v ein EV zum EW 1 ist so rechne (A^2+5A-24E)v einmal aus
donleon Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid aber ich versteh es irgendwie nimmer noch ned.
Mich verwirrt einfach das A²+5A-24E.
Ich weiß ned wie ich das ausrechnen soll (A²+5A-24E)v
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst das doch wohl ausmultiplizieren können. Außerdem wirst du wohl wissen was Av ist?!
 
 
donleon Auf diesen Beitrag antworten »

Av=EW*v= Ew*E*v
und ausmultipliziert ergibt es
A²v+5Av-24Ev
Das was mir halt hier noch einfällt ist zu sagen,dass wegen
24Ev=24v, Ew 24 ist und das ungleich dem EW 1 ist.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Der Eigenwert ist hier doch als 1 angenommen.
Also haben wir Av = 1*v = v!
Das ausmultplizieren stimmt natürlich, das 24 ein Eigenwert ist, ist natürlich Schwachsinn(wie folgerst du das?!)
donleon Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Av=v folgt das v=0 ist.
Folglich ist 1 kein Eigenwert von A ist.
Das A² muss dabei aber nicht beachtet werden oder? als Begründung würde das oben genügen?
Auf jeden Fall bis hierhin schonmal vielen Dank
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von donleon
Mit Av=v folgt das v=0 ist.

Schwachsinn, z.B. mit der Einheitsmatrix(und unendlich vielen anderen Matrizen) gilt diese Folgerung nicht.
Rechne einfach einmal den Term aus den ich dir gegeben habe
donleon Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh halt nur leider ned was ich da ausrechne.
A^2v+5Av-24Ev=v
Mein Ansatz wäre halt ( bin mir nicht sicher ob man das überhaupt machen darf
A^2v+5v-24Ev=v
Ich bin bei dieser Aufgabe einfach total verwirrt. Will sie aber trotzdem verstehen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von donleon
A^2v+5Av-24Ev=0*v

So sollte es lauten. Wenn du das ausrechnest mit Av=v dann kommst du auf einen Widerspruch!
Also jetzt einfach Av=v 3mal benutzen, und zusätzlich die Eigenschaft der Einheitsmatrix
donleon Auf diesen Beitrag antworten »

Also
v=Av
> A^2v+5Av-24Av=0 /:Av
A-19=0
A=19
donleon Auf diesen Beitrag antworten »

ok noch ein Versuch

A^2v+5Av-24Ev=0*v
Av+5v-24v=0*v
v+5v-24v=0*v
-18v=0*v
Und das ist der wiederspruch weswegen 1 kein Eigenwert ist
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