Idealer Fluss

05.12.2009, 20:54

Playmuckel

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Idealer Fluss

Ein fluss fliesst in idealer Weise um einen Stein mit dem Radius 1, mit dem Fluss durchs xy plane und in postive x-Richtung. Das einfache Model beginnt mit derm Potentialfunktion: x+(x)/(x^2+y^2)
a) Finde das Geschwindigkeitsvektorfeld v=grad
b)Verwende Maple um das Vektorfeld ausserhalb des Kreises zu zeichnen
c) Zeige, dass der Fluss tangential zu dem Kreis x^2+y^2=1 ist. Was soviel heisst, dass kein Wasser den Kreis ueberquert.
Zeige dass div v=0 und erklaere die Bedeutung.
Hallo, a und b konnte ich selber loesen, aber c, da habe ich leider keine ahnung, Kann mir jemand helfen?
Julia

05.12.2009, 23:18

MI

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RE: Idealer Fluss
Naja, du müsstest die Richtung der Vektoren am Kreis untersuchen. Die müssten dann eben senkrecht auf der Kreisnormale stehen (bzw. tangential zum Kreis). Also: Einsetzen und mit der Kreisnormalen (=Vektor vom Punkt, den du einsetzt - warum?) Skalarprodukt bilden.

Weißt du, was div v=0 bedeutet?

Gruß
MI

05.12.2009, 23:36

Playmuckel

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Also muesste ich einfach nur das Skalarprodukt nehmen, aber welche Funktion genau. Gradient und Kreis oder Gradient und gradient vom kreis? Sorry des kann sich jetzt gerade vollkommen nutzlos anhoeren, aber ich versuche mein Glueck schon mehr als 3 tage an aufgabe c.

05.12.2009, 23:43

MI

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Naja, die Geschwindigkeit sollte ja in tangentialer Richtung sein, damit das Wasser vorbeifließt, oder? Also nimmst du das Gradientenfeld (Geschwindigkeitsfeld!) und bildest mit diesem Vektor das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor auf dem Einheitskreis. Das sollte Null sein, weil die Geschwindigkeit ja tangential am Kreis liegen soll. Das ist einfach der Vektor, der in Richtung des Punktes der e_r-Komponente deines Vektorfeldes zeigt.

Gruß
MI

05.12.2009, 23:59

Playmuckel

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Hi,
ich habe jetzt mal wieder etwas rumgerchnet und zwar habe ich bei dem Kreis x^2+y^2=0 angenommen, dass x=0 und y=1 und habe dann diese werte in meinem gradient (-x^2+y^2)/((x^2+y^2)^2) i und (-2xy)((x^2+y^2)^2) quasi eingesetzt und dann skalar mulipliziert und dabei 0 rausbekommen, war dass jetzt zufall?

06.12.2009, 00:04

MI

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Theoretisch müsste das Skalarprodukt zwischen Normale und Geschwindigkeitsfeld doch an JEDEM Punkt auf dem Kreis Null ergeben - genau dann ist die geforderte Bedingung gezeigt Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Das müsstest du eigentlich dann schon an deinem Bildchen in der b) sehen können.

Wie sieht denn die Kreisnormale aus?

Gruß
MI

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06.12.2009, 00:15

Playmuckel

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Ich habe es gerade noch mal durchgerechnet und es gibt leider nicht 0. Mein Normalenvektor ist n(t)= y(t)-x(t) und des waere dann n(t)=cos(t)-sin(t) oder? Dann muesste ich aber doch den Gradient auch in parameterform umwandeln oder?

06.12.2009, 00:21

MI

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Nicht so kompliziert Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Wenn ich das richtig sehe, rechnest du in kartesischen Koordinaten. Dann wäre dein Normalenvektor doch einfach (x,y).

Gruß
MI

06.12.2009, 00:45

Playmuckel

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Also waere dann mein skalar product dann einfach der grad $\begin{eqnarray*} \frac{- x^{2}+ y^{2} }{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 }i + \frac{- 2xy}{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 } \end{eqnarray*}$ und dann einfach die i Komponent mit x multiplizieren und die j mit y und dann sollte es 0 ergeben?

06.12.2009, 00:57

MI

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ja, aber NUR für x^2+y^2=1, sonst natürlich nicht.

Gruß
MI

06.12.2009, 01:05

Playmuckel

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Es tut mir leid, aber ich verstehe es immer noch nicht. Koenntest du mir mal zeigen was ich genau mit was machen mussen? Ich glaube ich steh gerade so aufm schlauch.

06.12.2009, 01:11

MI

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Dein Gradient ist falsch. Da fehlt noch ein +1 in der ersten Komponente.

Außerdem: Warum hast du da ein i verwirrt

verwirrt

.

06.12.2009, 01:27

Playmuckel

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i also komponente in die i richtung, Danke fuer des x und was nehme ich dann jetzt fuer mein Skalar. Den gradient und $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} \end{eqnarray*}$ . Ich glaube ich stelle mich gerade ziemlich an

06.12.2009, 01:32

MI

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Dann einmal langsam smile

smile

.
Wie genau lautet jetzt dein Gradient?

06.12.2009, 01:35

Playmuckel

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$\begin{eqnarray*} 1+\frac{- x^{2}+ y^{2} } {\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 }i + \frac{- 2xy}{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 } j \end{eqnarray*}$ Des ist mein Gradient.

06.12.2009, 01:43

MI

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Zitat:

Original von Playmuckel
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{- x^{2}+ y^{2} } {\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 }i + \frac{- 2xy}{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 } j \end{eqnarray*}$ Des ist mein Gradient.

wobei die 1 noch zu "i" gehört. Ich muss sagen, dass ich eure Schreibweise etwas verwirrend finde - zumal die "i"-Richtung ja die x-Richtung sein muss und die "j"-Richtung die y-Richtung - anderenfalls gäbe das für mich keinen Sinn.
Ich wäre für
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\left(1+\frac{- x^{2}+ y^{2} } {\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 }\right) e_x + \frac{- 2xy}{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 } e_y \end{eqnarray*}$

Und jetzt das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor bilden.
$\begin{eqnarray*} \vec{r}=x e_x+ye_y \end{eqnarray*}$

06.12.2009, 01:49

Playmuckel

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Ok wenn ich dess dann so mache, sollte ich folgendes haben
$\begin{eqnarray*} x+\frac{- x^{3}+ y^{2}x } {\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 }i + \frac{- 2xy^{2}}{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 } j \end{eqnarray*}$ oder? Und des ganze soll dann 0 ergeben?

06.12.2009, 01:54

MI

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Wenn du ein Skalarprodukt bildest, hast du keine Einheitsvektoren mehr.

Ansonsten sollte es 0 ergeben, aber nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ . Nur diese Punkte liegen ja auf dem Kreis.

06.12.2009, 02:01

Playmuckel

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Ich habe jetzt rumgerechnet und ich kriege nie 0 koenntest du mir einfach mal des Skalar aufschreiben, vielleicht finde ich es dann. Bei mir ist es nie 0

06.12.2009, 02:04

Playmuckel

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Jetzt habe ich gerade mal fuer x=1 und y=0 angenommen und dann waere, das ganze 0 aber wenn ich dann fuer x=0 und y=1 annehme, dann stimmt es nicht.

06.12.2009, 02:07

Playmuckel

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Also wenn ich jetzt folgendes habe
$\begin{eqnarray*} x+\frac{- x^{3}+ y^{2}x } {\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 }i + \frac{- 2xy^{2}}{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 } j \end{eqnarray*}$ und dann fuer x=1 und y=0 oder x=0, y=1 haben dann bekomme ich 0 raus. Ist des jetzt zufall oder habe ich es endlich begriffen?

06.12.2009, 02:16

MI

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Das hier hast du gegeben:
$\begin{eqnarray*} x+\frac{- x^{3}+ y^{2}x } {\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 } + \frac{- 2xy^{2}}{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2} \end{eqnarray*}$

Einfach umformen:
$\begin{eqnarray*} \langle \vec{v},\vec{r}\rangle=x+\frac{- x^{3}+ y^{2}x } {\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 } + \frac{- 2xy^{2}}{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2}<br /> =x+\frac{- x^{3}- y^{2}x } {\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 }<br /> =x+\frac{-x(x^2+y^2)}{\left(x^{2}+ y^{2}\right)^2 }<br /> =\frac{x\cdot(x^2+y^2-1)}{x^2+y^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Und was siehst du jetzt?

Gruß
MI

EDIT: Nein, das ist kein Zufall - aber du hast es leider auch nicht begriffen, denn damit hast du noch nichts bewiesen. Es muss für alle x und y gelten, bei denen $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ gilt.
Außerdem: In deinem Skalarprodukt dürfen keine i's und j's auftauchen!

06.12.2009, 02:20

Playmuckel

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Ich sehe es zwar nicht, aber ich denke mal 0 oder?

06.12.2009, 02:25

Playmuckel

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div=0 soll heissen, dass divergecne =0 ist.

06.12.2009, 02:31

MI

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Ich glaube, du solltest vielleicht eine Nacht drüber schlafen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Setze doch einfach einmal x^2+y^2=1 ein.

Meine Frage am Threadanfang war gewesen, ob du die geometrische BEDEUTUNG der Divergenz kennst.

Gruß
MI

06.12.2009, 02:34

Playmuckel

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Leider nein, mein Professor hat dieses aufgabe ausgeteilt und meinte dann es wuerde des des naechste mal erklaeren, war dann aber krank, aber verschiebt den abgabe termin nicht.
Vielen Vielen danl fuer deine Hilfe

06.12.2009, 02:43

MI

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Naja, die Divergenz ist physikalisch betrachtet die Quellendichte des Vektorfeldes. Eine positive Divergenz bedeutet, dass sich im Vektorfeld "Quellen" befinden, d.h.: Ursprünge von (in deinem Fall) Wasser, eine negative Quellendichte bedeutet, dass im Feld sozusagen (in deinem Fall) Wasser verschwindet (es befinden sich "Senken" im Feld).

Jetzt kannst du dir überlegen, warum es sinnvoll ist, dass dein Vektorfeld keine Quellen hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gruß
MI

06.12.2009, 02:46

Playmuckel

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Ja klar es kann keine quellen haben, aber wie beweise ich es?

06.12.2009, 02:53

MI

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Naja, ausrechnen. Ich gebe dir mal die Formel, falls ihr auch die noch nicht hattet:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{div}\, \vec{F} = \sum\limits_{i=1}^n\,\frac{\partial F_i}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$

für jedes Vektorfeld F.

06.12.2009, 02:57

Playmuckel

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Ok danke, damit werde ich mich dann morgen mit beschaeftigen, weil im moment machne meine ergebnisse keinerlei sinn.

06.12.2009, 03:00

MI

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Okay - ich bin sowieso jetzt raus und könnte nicht mehr antworten Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

06.12.2009, 20:37

Playmuckel

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Hi,
ich kriege nie 0 raus. Ich habe als Werte fuer dass Integral 0 und 1 genommen.

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