Basiswechsel einer MAtrix

05.12.2009, 21:50

Matheversteher

Basiswechsel einer MAtrix

Guten Abend Matheboarder Wink

Ich hänge an folgender Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} f:{R}^3 \to {R}^3 \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} {R} \end{eqnarray*}$ -lineare Abbildung mit der Matrix

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{B}(f)=\begin{pmatrix}0&2&-1\\ -3&-2&4\\ -2&0&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bezüglich der Standardbasis $\begin{eqnarray*} B=\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\ \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ . Man berechne die Matrix $\begin{eqnarray*} M^{B'}_{B'}(f) \end{eqnarray*}$ für die Basis

$\begin{eqnarray*} B' = \{(2,1,2), (1,2,2), (2,2,3)\\ \end{eqnarray*}$ ,.

Leider tue ich mir bei dem Basiswechsel immer sehr schwer, da ich mir nie sicher bin welche Vekotren ich denn eigentlich verwenden muss um die gewünschte Basis zu erhalten unglücklich

Dazu habe ich mir auch schon das hier durchgelesen. Leider kann ich damit nicht allzu viel anfangen.
Ich hoffe jemand kann mir bei meinem Problem behilflich sein.

06.12.2009, 11:54

addor

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basiswechsel einer MAtrix
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann hast Du eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} M: \mathbb R ^{3} \rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$

(das "f" in der Klammer verstehe ich nicht), die Dir einen Vektor v in einen anderen Vektor Mv abbildet, wobei v als auch Mv in der Standardbasis B ausgedrückt sind.

Was Du sucht ist eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} : {M'}: \mathbb R ^{3} \rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$

die den Vektor v nach $\begin{eqnarray*} M' v \end{eqnarray*}$ abbildet, wobei diesmal v und sein Bild in der gegebenen Basis B' dargestellt sein sollen.

Ist das so richtig?

Erlaube mir, den Vektor v und seine Darstellung bezüglich der Standardbasis B mit "v" und seine Darstellung bezüglich der Basis B' mit "v'" (v Apostroph) zu bezeichnen. Weiter bezeichne T die Matrix, die Du aus Aneinanderreihen der neuen Basisvektoren der Basis B' erhältst, also

$\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gilt ganz gewiss Tv = v', wie Du leicht nachrechnest. Die Matrix T leistet also gerade den Basiswechsel

$\begin{eqnarray*} T: \mathbb R ^{3} \rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$

Also muss das Bild unter M gleich dem Bild unter M'T sein, d.h. es muss auf dasselbe heraus laufen, ob ich v direkt abbilde oder zuerst den Basiswechsel T mache und erst dann (mit M') abbilde. Man hat also:

M'T = M

oder - da Du ja M' suchst -

$\begin{eqnarray*} M' = MT^{-1} \end{eqnarray*}$

Ist's das?

06.12.2009, 17:10

Matheversteher

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist die Frage ob es das ist, was du mich fragst. Ich habe keine Ahnung verwirrt

Also ich habe mal noch ein wenig in meinem Script geblättert und gefunden, dass
zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} M^{B'}_{B} * M^{B}_{B'} = M^{B'}_{B'} \end{eqnarray*}$ (Was wiederrum glaube ich die Einheitsmatrix ist)

Also ich würde somit dann

$\begin{eqnarray*} M^{B'}_{B} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^{B}_{B'} \end{eqnarray*}$
berechnen.

Somit für $\begin{eqnarray*} M^{B}_{B'} \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = a_1* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b_1* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = a_2* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b_2* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = a_3* \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b_3* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Matrix folgt somit:

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{B'} (f) = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Analog folgt das dann für $\begin{eqnarray*} M^{B'}_{B} \end{eqnarray*}$

Ist der Weg so richtig oder bin ich hier total am Holzweg?

06.12.2009, 18:53

Matheversteher

Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand von euch eine Idee?...

06.12.2009, 20:08

El_Snyder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matheversteher
Also ich habe mal noch ein wenig in meinem Script geblättert und gefunden, dass
zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} M^{B'}_{B} * M^{B}_{B'} = M^{B'}_{B'} \end{eqnarray*}$ (Was wiederrum glaube ich die Einheitsmatrix ist)

Also ich würde somit dann

$\begin{eqnarray*} M^{B'}_{B} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^{B}_{B'} \end{eqnarray*}$
berechnen.

Der Ansatz mit Basiswechselsatz ist schon richtig. Allerdings reicht es, wenn du eine dieser beiden Matrizen bestimmst, denn $\begin{eqnarray*} M^{B'}_{B} = (M^{B}_{B'})^{-1} \end{eqnarray*}$

06.12.2009, 22:57

Matheversteher

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank El_Snyder!
Allerdings werde ich
$\begin{eqnarray*} M^{B'}_{B} \end{eqnarray*}$
Auf beide "Arten" berechnen, einfach um zu üben und aus Kontrollgründen, ob ich beide "Arten" drauf habe. Augenzwinkern

Allerdings ist mir dann schleierhaft warum in der Aufgabe dann noch eine Matrix von
$\begin{eqnarray*} R^3 \Rightarrow R^3 \end{eqnarray*}$
angegeben ist.
Vllt könntest du mir da noch behilflich sein, denn eigentlich wird sie doch hier gar nicht gebraucht oder? verwirrt

08.12.2009, 02:32

El_Snyder

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung muss ja irgendwie bestimmt sein. Ausserdem hast du einen Denkfehler in den Gleichungen zur Bestimmung deiner Matrix: Die Bilder der Basisvektoren aus B' sind nicht einfach die Koeffizienten der Linearkombinationen von B. Das Bild eines Vektors erhältst du ja schließlich nur, wenn du diesen auch abbildest. Deine Schreibweise verwirrt mich etwas, da bei deinen Matrizen die jeweilige Abbildung aussen vorbleibt. Der Basiswechselsatz lautet auf deine Aufgabe bezogen:

$\begin{eqnarray*} M(B', f, B') = M(B', id, B) \cdot M(B, f, B) \cdot M(B, id, B') \end{eqnarray*}$

Da B die Standardbasis des R³ ist, ist $\begin{eqnarray*} M(B, id, B') = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (Die Matrix, die die Vektoren aus B' auf sich selbst abbildet und als Linearkombination der Einheitsvektoren "ausspuckt").

$\begin{eqnarray*} M(B', id, B) = [M(B, id, B')]^{-1} \end{eqnarray*}$ kannst du dann auch leicht berechnen.

Zum Schluss nur noch zwei Matrizenmultiplikationen und du bist fertig.

Du kannst natürlich auch anders an die Sache rangehen: Da M zur Standardbasis gegeben ist, gilt f(1,0,0) = (0,-3,-2) ; f(0,1,0) = (2, -2, 0) und f(0,0,1) = (-1,4,2). Jetzt bestimme die Matrix von f bzgl. der Basis B'. Da in diesem Fall die Spalten der Darstellungsmatrix von f die Bilder der Basisvektoren aus B' sind, müssen diese bestimmt und dann auch als Linearkombination der Basis B' dargestellt werden. So war auch dein ursprünglicher Ansatz glaube ich.

Nur wärst du wie oben geschrieben halt noch nicht ganz fertig mit der Bestimmung deiner Matrix. Aus den Koeffizienten der Linearkombinationen der Basisvektoren aus B' mit den Basisvektoren aus B kannst du so eben nicht einfach so deine neue Darstellungsmatrix aufstellen. Die Vektoren (a1,b1,c1) etc. musst du erst noch als Linearkombination der Basis B' darstellen. Dann hast du die Spalten deiner Darstellungsmatrix (eigentlich müsstest du vorher erst noch die Vektoren (a1,b1,c1) etc. mit der vorgegebenen Matrix multiplizieren, um eben das Bild der Basisvektoren aus B' zu erhalten; das ist hier überflüssig, da M bzgl der Standardbasis gegeben ist - das wäre aber ein Grund, warum M angegeben ist).

Hoffe das Ganze ist etwas verständlicher geworden. Gruss!

Neue Frage »

Antworten »

Basiswechsel einer MAtrix

Verwandte Themen