Induktion

10.10.2006, 17:33	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion Hi... - ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt: $\begin{eqnarray} 1 + 2^{(2^n)} + 2^{(2^{n+1})} \end{eqnarray}$ ist durch 7 teilbar Induktionsanfang ist kein Problem. Eher geht es darum so umzustellen, dass man die Induktionsvorraussetzung einsetzen kann. Ich habe mir gedacht für n+1: $\begin{eqnarray} 1 + 2^{(2^{n+1})} + 2^{(2^{n+2})} \end{eqnarray}$ habe ich ja schon zwei Summanden genau wie bei der IV. Aber ich kriege nicht raus wie ich den dritten Summanden umformen muss. Hat jemand nen Tipp?
10.10.2006, 17:46	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion Vielleicht geht's damit: $\begin{eqnarray} 2^{2^{n+2}}=2^{2^{n}2^2}=\left(2^{2^{n}}\right)^4 \end{eqnarray}$ Wobei ich damit jetzt auch grad keinen Lösungsansatz finde...
10.10.2006, 18:09	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ne - soweit war ich auch schon, aber das problem ist, dass man schlecht ausklammern kann...
10.10.2006, 18:43	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nach Induktionsvoraussetzung ist $\begin{eqnarray} 1+2^{2^{n}}+2^{2^{n+1}} \equiv 0 \pmod 7 \end{eqnarray}$ , d.h. es gilt $\begin{eqnarray} 1+2^{2^{n+1}} \equiv -2^{2^{n}} \pmod 7 \end{eqnarray}$ . Das ergibt im Induktionsschluss $\begin{eqnarray} 1+2^{2^{n+1}}+2^{2^{n+2}} \equiv 2^{2^{n+2}} -2^{2^{n}} \equiv \left( 2^{2^{n}} \right)^4 - 2^{2^{n}} \equiv 0 \pmod 7 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} 2^{2^{n}} \equiv 2,4 \pmod 7 \end{eqnarray}$ . Gruß, therisen EDIT: Ein = durch \equiv ersetzt (Latex)
10.10.2006, 18:50	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
die Aufgabe hab ich aus ner Aufgabensammlung für Erstsemestler zweite Woche... da ist deine Lösung etwas zu hoch oder? vor allem kenn ich mich mit den Rechengesetzen da nicht aus...
10.10.2006, 18:57	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion Die Lösung von therisen hat schon was geniales an sich. Trotzdem möchte ich meine Idee auch zum besten geben: $\begin{eqnarray} 1 + 2^{(2^{n+1})} + 2^{(2^{n+2})} = 1 + \left(2^{(2^n)}\right)^2 + \left(2^{(2^{n+1})}\right)^2 = \left(1 + 2^{(2^n)} + 2^{(2^{n+1})}\right)^2 - \ldots \end{eqnarray}$ Bei den Pünktchen muß man noch die gemischten Produkte hinschreiben und kann dann $\begin{eqnarray} 2 \cdot 2^{(2^n)} \end{eqnarray}$ ausklammern.
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11.10.2006, 12:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
11.10.2006, 15:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Erinnert mich an das hier.

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