Kern einer linearen Abbildung

06.12.2009, 00:19

Merlinius

Kern einer linearen Abbildung

Ich rechne schon ewig an dieser Aufgabe und komm einfach auf keine Lösung:

Zitat:

V sei ein n-dimensionaler C-Vektorraum mit Basis $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \end{eqnarray*}$ . Seien $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Wir definieren folgende C-lineare Abbildung: $\begin{eqnarray*} f_{a,b}(v_k) := a \cdot v_k + b \cdot \sum_{i=1}^n v_i \end{eqnarray*}$

Die eigentliche Aufgabe ist die Dimension von Kern und Bild(f) in Abhängigkeit von a und b auszurechnen. Als Tipp steht (u.a.) dabei, dass man zunächst $\begin{eqnarray*} Kern(f_{a,b}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ ausrechnen soll. Und dies will mir einfach nicht gelingen.

Also:

Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ und es sei $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ . v lässt sich als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ darstellen mit:

$\begin{eqnarray*} v = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ... (Linearkombination und Linearität einsetzen) .... $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^n \alpha_k f(v_k) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^n \alpha_k (a \cdot v_k + b \cdot \sum_{i=1}^n v_i) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^n v_k \cdot \alpha_k \cdot a + \sum_{k=1}^n \alpha_k \cdot b \cdot \sum_{i=1}^n v_i = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^n v_k (\alpha_k \cdot a + b \cdot \sum_{i=1}^n \alpha_i) = 0 \end{eqnarray*}$

So jetzt sind die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ ja eine Basis und daher linear unabhängig und daher gilt für alle $\begin{eqnarray*} k \in \{1, ..., n\}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\alpha_k \cdot a + b \cdot \sum_{i=1}^n \alpha_i) = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. War das überhaupt der richtige Weg bis hierhin? Wie kann ich jetzt daraus eine schöne Darstellung des Kerns bekommen bzw. einer Basis vom Kern?

Also ich hab ja praktisch folgendes LGS jetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+b & b & ... & b & 0 \\ b & a+b & ... & b & 0 \\ ... \\ b & b & ... & a+b & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich seh die Lösung daraus aber immer noch nicht...

06.12.2009, 09:56

Leopold

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Im linearen Gleichungssystem muß ganz unten rechts ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ stehen. (EDIT nach Intervention von Merlinius: Das stimmt nicht.)
Gibt es über $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ keine Voraussetzungen? Dann unterscheide die Fälle $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ (mit den Unterfällen $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Subtrahiere im letzten Fall die zweite Zeile von der ersten, dann die dritte von der zweiten, die vierte von der dritten usw. bis schließlich die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te von der $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -ten. Anschließend kannst du in den ersten $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Zeilen durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dividieren. Wenn du dann das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile, das $\begin{eqnarray*} 2b \end{eqnarray*}$ -fache der zweiten Zeile, das $\begin{eqnarray*} 3b \end{eqnarray*}$ -fache der dritten Zeile usw. bis schließlich das $\begin{eqnarray*} (n-1)b \end{eqnarray*}$ -fache der $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -ten Zeile von der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Zeile subtrahierst, bekommst du Dreiecksgestalt. Dann muß noch einmal eine Fallunterscheidung bezüglich des Matrixelementes rechts unten her.

06.12.2009, 13:52

Merlinius

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warum muss denn in der letzten Zeile ein b stehen?

Für $\begin{eqnarray*} k = n \end{eqnarray*}$ habe ich doch:

$\begin{eqnarray*} \alpha_k \cdot a + \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot b<br /> = \alpha_n \cdot a + \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot b<br /> = \alpha_n \cdot (a + b) + \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \cdot b<br /> = \alpha_1 b + \alpha_2 b + ... + \alpha_{n-1} b + \alpha_n (a+b) = 0 \end{eqnarray*}$

06.12.2009, 14:17

Merlinius

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Aber danke auf jeden Fall für den Tipp zur Lösung des Gleichungssystems, darauf wär ich niemals gekommen!

06.12.2009, 18:46

Leopold

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Zitat:

Original von Merlinius
warum muss denn in der letzten Zeile ein b stehen?

Ich sagte b, meinte aber a+b. Aber auch das wäre falsch gewesen. Ich hatte nicht beachtet, daß du die rechte Seite des Gleichungssystem als Nullspalte mitführst.

06.12.2009, 19:07

Merlinius

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Merlinius
warum muss denn in der letzten Zeile ein b stehen?

Ich sagte b, meinte aber a+b. Aber auch das wäre falsch gewesen. Ich hatte nicht beachtet, daß du die rechte Seite des Gleichungssystem als Nullspalte mitführst.

okay, sorry es war mir auf die schnelle nicht gelungen, einen vertikalen strich einzufügen mit latex. danke auf jeden fall für deine hilfe. ich habe die aufgabe jetzt meiner meinung nach für alle möglichen fälle, die eintreten können, gelöst.

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