Fast sichere Konvergenz

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Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Fast sichere Konvergenz
Es sei eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen und eine Folge reeller Konstanten dergestalt, dass , für punktweise für alle aus einer Menge mit positiver Wahrscheinlichkeit. Beweisen Sie:

, für fast sicher

Mein Ansatz:

Angenommen , für nicht fast sicher

ex. eine Menge mit und , für .

Ab hier gehts nicht mehr weiter.

Kann mir jemand helfen?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sehen diese X_n aus? Welchen Definitionsbereich und vor allen Dingen welchen Wertebereich haben sie?
Schreib doch noch mal die Definition von fast sicherer Konvergenz auf.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mr. Brightside,

diese X_n sind nicht explizit gegeben.

Die Aufgabe steht so wie ich sie hier formuliert habe auf meinem Übungsblatt.

In unserem Script steht keine Defintion von fast sicherer Konvergenz, daher benutze ich diese von Wiki.

Hier

Gruß
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein ist es so, dass aus punktweiser Konvergenz die f.s. Konvergenz folgt. Warum ist das wohl so?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was auf deine Frage ein sinnvolle Antwort wäre.

Ein Kommolitone meinte, das man cantelli verwenden kann.

Ich meine es geht auch einfacherer.

Intuitiv scheint mir die Sache auf der Hand zu liegen.

Aus meiner Ausführung folgt doch schon der Widerspruch, denn die ex. der Menge T enthält Elemente für die der Grenzwert lim_n ( c_nX_n(w) ) ungleich 0 ist, was doch schon ein Widerspruch zu der Voraussetzung ist.

Bitte verbessere mich, wenn ich was falsch sehe.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du denkst in die richtige Richtung. Allerdings kann es schon Elemente geben, für die der Grenzwert nicht Null ist, die Menge dieser Elemente ist allerdings eine Nullmenge (hier übrigens deshalb, weil diese Menge leer ist). Fange so an: Sei A die Menge, für die gilt:



Was jetzt folgen muss:



Gilt das? Ja, du musst nur die Definition noch mal sauber aufschreiben.

Wenn ich was falsch sehe, dann korrigiert mich bitte auch. Big Laugh
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine das kann ich durch eine disjunkte Zerlegung machen, da die Elemente, für die nicht gilt: , aus einer Menge kommen, mit nicht postiver Wahrscheinlichkeit (also p=0), laut Voraussetzung, also:



Ist das wirklich so einfach?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich sehe da keinen Fehler. Freude
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

zur dieser Aufgabe gibt es noch eine b):

Beweisen Sie: Für jede Konstante ist

Mein Ansatz:

Angenommen es gibt eine Konstante mit









Widerspruch.

Hier bin ich mir an einigen Stellen nicht sicher.

Gruß
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Du nutzt hier Borel-Cantelli, oder? Beim allerletztens Schritt bin ich mir nicht sicher, ob das stimmt. Erläutere doch noch mal, warum das folgt.
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